Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Benzerlik

Şekildeki ABCABC üçgeninde; D∈[AB]D \in [AB], E∈[AC]E \in [AC] ve F∈[BC]F \in [BC] noktaları işaretlenmiştir. DE//BCDE // BC ve EF//ABEF // AB olmak üzere oluşturulan bölgelerin alanları incelenmiştir.

ADEADE üçgeninin alanı 4 cm24 \text{ cm}^2 ve EFCEFC üçgeninin alanı 9 cm29 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ABCABC üçgeninin toplam alanı kaç  cm2\text{ cm}^2 dir?

  1. A
    13
  2. B
    19
  3. 25Cevap
  4. D
    36
  5. E
    49

Cevap

ABC üçgeninin alanı 25 cm² dir.
Verilen şekilde DE//BCDE // BC ve EF//ABEF // AB olduğundan BDEFBDEF bir paralelkenardır. ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir, aynı şekilde EFCEFC üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir. Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Alan(ADE)Alan(ABC)+Alan(EFC)Alan(ABC)=1\sqrt{\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)}} + \sqrt{\frac{Alan(EFC)}{Alan(ABC)}} = 1 eşitliği bu özel formül için geçerlidir. 2S+3S=1\frac{2}{\sqrt{S}} + \frac{3}{\sqrt{S}} = 1 denkleminden S=5\sqrt{S} = 5 ve S=25S = 25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Benzer üçgenleri belirle ve benzerlik oranlarını alanlar yardımıyla ifade et.
ADE ~ ABC ve EFC ~ ABC dir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir (k² = AlanOranı).
Paralellikten dolayı (DE//BC ve EF//AB) oluşan küçük üçgenler büyük üçgen ile benzerdir.
2
ADE ve EFC üçgenlerinin ABC üçgenine olan benzerlik oranlarını (k1 ve k2) hesapla.
k1 = √(Alan(ADE)/Alan(ABC)) = 2/√S ve k2 = √(Alan(EFC)/Alan(ABC)) = 3/√S.
Alan oranı, benzerlik oranının karesidir. Buradan kenar oranlarına geçilir.
3
Paralelkenar özelliğini kullanarak kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kur.
|BC| = |BF| + |FC|. |BF| = |DE| olduğu için (BDEF paralelkenar), |BC| = |DE| + |FC|.
Taban kenarı parçaların toplamına eşittir ve paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşittir.
4
Oranları toplayarak eşitliği çöz.
1 = k1 + k2 => 1 = 2/√S + 3/√S => 1 = 5/√S => √S = 5 => S = 25.
Kenar oranlarının toplamı bütünü (1) vermelidir.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1
Paralelliklerden dolayı ADEADE ve EFCEFC üçgenlerinin her ikisi de büyük ABCABC üçgenine benzerdir.
2
Benzerlik oranı (kk), alanlar oranının kareköküne eşittir (k=Alan1/Alan2k = \sqrt{Alan_1/Alan_2}). BDEFBDEF dörtgeninin bir paralelkenar olduğunu unutmayın.
3
Alan(ADE)+Alan(EFC)=Alan(ABC)\sqrt{Alan(ADE)} + \sqrt{Alan(EFC)} = \sqrt{Alan(ABC)} pratik kuralını kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekil üzerinde alanlar yerine benzerlik oranı verilip alanların istendiği bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol: Bu tip (paralelkenar ile ayrılmış) sorularda toplam alanın karekökü, parçaların alanlarının karekökleri toplamına eşittir. S=4+9=2+3=5\sqrt{S} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5, buradan S=25S=25.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Benzerlik

Bu konudan daha fazla soru