Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇember ve Daire

Kısa kenar uzunluğu 22 cm, uzun kenar uzunluğu 88 cm olan bir ABCDABCD dikdörtgeni veriliyor. Bu dikdörtgenin AA ve BB köşelerinden geçen bir çember, dikdörtgenin [CD][CD] kenarına teğet olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Cevap
  4. D
    6
  5. E
    8

Cevap

Çemberin yarıçapı 5 cm'dir.
Çemberin merkezi, ABAB kirişinin orta dikmesi üzerinde yer alır. ABAB kenarının orta noktası ile çemberin merkezi arasındaki uzaklık hh, yarıçap RR ve dikdörtgenin kısa kenarı 22 birim olduğunda, teğetlik şartından dolayı h=∣R−2∣h = |R - 2| olur. AA köşesi, merkez ve orta nokta ile oluşturulan dik üçgende R2=42+(R−2)2R^2 = 4^2 + (R - 2)^2 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde R=5R = 5 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgeni koordinat düzlemine yerleştir veya simetri eksenini belirle.
ABAB kenarının orta noktası MM olsun. Çember AA ve BB noktalarından geçtiği için merkezi [AB][AB]'nin orta dikmesi üzerindedir.
Bir kirişin orta dikmesi daima merkezden geçer.
2
Yarıçap (RR) ve merkezin konumu arasındaki ilişkiyi kur.
Çember CDCD kenarına teğet olduğu için, merkezden CDCD kenarına olan uzaklık RR olur. ABAB ile CDCD arası 22 cm olduğundan, merkezin ABAB kenarına uzaklığı ∣R−2∣|R - 2| cm olur.
Teğet noktasına olan dikme yarıçaptır ve paralel kenarlar arası mesafe sabittir.
3
Merkez (OO), ABAB'nin orta noktası (MM) ve AA köşesi arasında bir dik üçgen oluştur.
∣AM∣=4|AM| = 4 cm ve ∣OM∣=∣R−2∣|OM| = |R - 2| cm olan dik üçgende hipotenüs ∣OA∣=R|OA| = R olur.
Pisagor teoremi uygulanarak bilinmeyen yarıçap hesaplanabilir.
4
Pisagor bağıntısını yaz ve denklemi çöz.
R2=42+(R−2)2⇒R2=16+R2−4R+4⇒4R=20⇒R=5R^2 = 4^2 + (R - 2)^2 \Rightarrow R^2 = 16 + R^2 - 4R + 4 \Rightarrow 4R = 20 \Rightarrow R = 5 cm bulunur.
Dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Çemberde kiriş özellikleri ve merkezin teğete olan uzaklığının yarıçapa eşitliği.

İpuçları

1
Çemberin merkezini dikdörtgenin içinde veya dışında bir nokta olarak düşünün ve A,BA, B noktalarına olan uzaklığının yarıçap olduğunu unutmayın.
2
ABAB kenarının orta noktasından geçen dikme çemberin merkezinden geçer. Bu dikme üzerindeki merkezin, teğet olduğu CDCD kenarına uzaklığı yarıçapa (RR) eşittir.
3
Merkezin ABAB kenarına uzaklığına hh derseniz, teğetlikten dolayı R=h+2R = h + 2 olur. AA köşesi ile bir dik üçgen kurarak R2=h2+42R^2 = h^2 + 4^2 bağıntısını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Eğer çember CDCD kenarına değil de, dikdörtgenin merkezine teğet olsaydı yarıçap nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Koordinat düzlemi kullanarak; A(−4,0)A(-4, 0) ve B(4,0)B(4, 0) noktalarını yerleştirin. CDCD doğrusu y=2y = 2 olur. Merkezi (0,y0)(0, y_0) olan çemberin y=2y=2 doğrusuna uzaklığı ∣y0−2∣=R|y_0 - 2| = R olur. AA noktasından geçen çember denklemi 42+y02=R24^2 + y_0^2 = R^2 sistemini çözerek aynı sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru