Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:

s(E)=35 s(E) = 35
s(A′∩B′)=12 s(A' \cap B') = 12
s([(A∖B)∪(B∖A)]′)=4⋅s(A∩B) s([(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]') = 4 \cdot s(A \cap B)
s(A)=2⋅s(B) s(A) = 2 \cdot s(B)

Buna göre, s(A∖B)s(A \setminus B) değeri kaçtır?

  1. A
    12
  2. 14Cevap
  3. C
    15
  4. D
    16
  5. E
    18

Cevap

14
Verilen karmaşık ifade, simetrik farkın tümleyenidir ve Venn şemasında hem kesişim bölgesini (A∩BA \cap B) hem de dış bölgeyi (A′∩B′A' \cap B') kapsar. Denklem s(A∩B)+s(A′∩B′)=4⋅s(A∩B)s(A \cap B) + s(A' \cap B') = 4 \cdot s(A \cap B) şeklinde kurulduğunda, kesişim kümesinin eleman sayısı 4 olarak bulunur. s(A)=2s(B)s(A) = 2s(B) bağıntısı ve evrensel küme toplamı kullanılarak yapılan denklem çözümü sonucunda A∖BA \setminus B kümesinin eleman sayısı 14 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri bölgelere ayırıp değişken ata
s(A∖B)=xs(A \setminus B) = x, s(B∖A)=ys(B \setminus A) = y, s(A∩B)=zs(A \cap B) = z, s(A′∩B′)=ts(A' \cap B') = t olsun.
Karmaşık küme ifadelerini cebirsel denklemlere dönüştürmek çözümü kolaylaştırır.
2
Verilen basit eşitlikleri değişkenler cinsinden yaz
x+y+z+t=35x + y + z + t = 35 ve t=12t = 12.
Evrensel küme ve tümleyenlerin kesişimi doğrudan verilmiştir.
3
Karmaşık ifadeyi analiz et: s([(A∖B)∪(B∖A)]′)s([(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]')
Bu ifade (AΔB)′(A \Delta B)' demektir. Bu bölge, hem kesişimi (zz) hem de dış bölgeyi (tt) kapsar. Yani: z+t=4zz + t = 4z.
Simetrik farkın tümleyeni, 'ya her ikisi ya hiçbiri' mantığıyla kesişim ve dış bölgenin birleşimidir.
4
z değerini bul
t=3z⇒12=3z⇒z=4t = 3z \Rightarrow 12 = 3z \Rightarrow z = 4.
t değeri bilindiği için z hesaplanabilir.
5
Geriye kalan x ve y değişkenlerini çöz
Toplam: x+y+4+12=35⇒x+y=19x + y + 4 + 12 = 35 \Rightarrow x + y = 19. Denklem: s(A)=2s(B)⇒x+z=2(y+z)⇒x+4=2(y+4)⇒x=2y+4s(A) = 2s(B) \Rightarrow x + z = 2(y + z) \Rightarrow x + 4 = 2(y + 4) \Rightarrow x = 2y + 4.
İki bilinmeyenli denklem sistemi elde edilir.
6
Denklem sistemini çözerek x'i bul
(2y+4)+y=19⇒3y=15⇒y=5(2y + 4) + y = 19 \Rightarrow 3y = 15 \Rightarrow y = 5. Buradan x=2(5)+4=14x = 2(5) + 4 = 14.
İstenen değer s(A∖B)=xs(A \setminus B) = x olduğu için sonuç 14'tür.

Anahtar Kavram

Simetrik Farkın Tümleyeni

İpuçları

1
Venn şeması çizerek bölgelere harfler (x,y,z,tx, y, z, t) verin.
2
[(A∖B)∪(B∖A)]′[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]' ifadesi, AA ve BB'nin sadece birinde olanların dışındakilerdir. Yani hem ikisinde olanlar (A∩BA \cap B) hem de hiçbirinde olmayanlar (A′∩B′A' \cap B').

Daha Fazla Pratik

De Morgan kurallarını içeren ve 3 kümeli (A, B, C) birleşim problemi çözün.
Tahmini Süre:3m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru