Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

EE evrensel kümesinin iki alt kümesi AA ve BB olmak üzere,

s(E)=42s(E) = 42
s(A′∩B′)=6s(A' \cap B') = 6
3⋅s(A−B)=4⋅s(B−A)=6⋅s(A∩B)3 \cdot s(A - B) = 4 \cdot s(B - A) = 6 \cdot s(A \cap B)

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, BB kümesinin tümleyeni olan B′B' kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    16
  2. B
    18
  3. C
    20
  4. 22Cevap
  5. E
    24

Cevap

B kümesinin tümleyeninin eleman sayısı 22'dir.
De Morgan kuralı gereği s((A∪B)′)=6s((A \cup B)') = 6'dır. Evrensel küme 42 elemanlı olduğundan A∪BA \cup B kümesi 36 elemanlıdır. Verilen orantıya göre bölgeler 4k4k, 3k3k ve 2k2k olarak belirlenir; toplamları 9k=369k=36 ise k=4k=4 bulunur. BB kümesi 3k+2k=5k=203k+2k=5k=20 elemanlıdır. B′B' (B'nin tümleyeni) ise 42−20=2242 - 20 = 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
De Morgan kuralını uygula ve birleşim kümesinin dışındaki eleman sayısını belirle.
A′∩B′A' \cap B' ifadesi (A∪B)′(A \cup B)' demektir. Verilen bilgiye göre s((A∪B)′)=6s((A \cup B)') = 6 olur.
Tümleyenlerin kesişimi, birleşimin tümleyenine eşittir.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(A∪B)=s(E)−s((A∪B)′)=42−6=36s(A \cup B) = s(E) - s((A \cup B)') = 42 - 6 = 36 bulunur.
Evrensel küme, kümenin kendisi ile tümleyeninin toplamına eşittir.
3
Orantı katsayılarını kullanarak bölgelerin eleman sayılarını kk cinsinden yaz.
3, 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katı (OKEK) 12'dir. Eşitliği 12k12k kabul edersek: s(A−B)=4ks(A - B) = 4k, s(B−A)=3ks(B - A) = 3k ve s(A∩B)=2ks(A \cap B) = 2k olur.
Bilinmeyen sayısını azaltmak için orantı sabiti kullanılır.
4
kk değerini bul ve s(B)s(B)'yi hesapla.
s(A∪B)=4k+3k+2k=9ks(A \cup B) = 4k + 3k + 2k = 9k dir. 9k=369k = 36 olduğundan k=4k=4 bulunur. Buradan s(B)=s(B−A)+s(A∩B)=3k+2k=5k=20s(B) = s(B-A) + s(A \cap B) = 3k + 2k = 5k = 20 olur.
B kümesi, B fark A ile kesişim kümesinin birleşimidir.
5
B′B' kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(B′)=s(E)−s(B)=42−20=22s(B') = s(E) - s(B) = 42 - 20 = 22 sonucuna ulaşılır.
İstenen cevap B kümesinin tümleyenidir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Fark ve Tümleme

İpuçları

1
s(A′∩B′)s(A' \cap B') ifadesi, A ve B kümelerinin birleşiminin dışında kalan bölgeyi ifade eder (De Morgan Kuralı).
2
Verilen eşitlikteki 3, 4 ve 6 sayılarının ortak katını alarak her bölgeye kk cinsinden değer verin. s(A∪B)s(A \cup B) bu bölgelerin toplamıdır.

Alternatif Yöntem

Tümleyen özelliklerinden gidilerek: s(B′)=s(A−B)+s((A∪B)′)=16+6=22s(B') = s(A-B) + s((A \cup B)') = 16 + 6 = 22 şeklinde de hesaplanabilir (Sadece A'da olanlar ve hiçbi rinde olmayanların toplamı B'nin dışındakileri verir).
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru