Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇember ve Daire

OO merkezli ve 55 birim yarıçaplı bir çemberin dışındaki bir PP noktasından çembere [PA][PA] teğeti çizilmiştir. PP noktasının çemberin merkezine olan uzaklığı ∣OP∣=13|OP| = 13 birimdir. PP noktasından geçen bir kesen çemberi BB ve CC noktalarında kesmektedir. ∣PB∣=8|PB| = 8 birim olduğuna göre, ∣BC∣|BC| kirişinin uzunluğu kaç birimdir?

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. 10Cevap
  4. D
    12
  5. E
    18

Cevap

BC kirişinin uzunluğu 10 birimdir.
Verilen bilgilere göre önce OAPOAP dik üçgeninden teğet parçasının uzunluğu 12 birim olarak bulunur. Daha sonra teğet-kesen kuvvet özelliği (∣PA∣2=∣PB∣⋅∣PC∣|PA|^2 = |PB| \cdot |PC|) kullanılarak kesenin tamamı 18 birim hesaplanır. Kiriş uzunluğu için dışarıdaki 8 birimlik parça çıkarıldığında 10 birim sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasına yarıçap çizilmesi
OA⊥PAOA \perp PA ve ∣OA∣=5|OA| = 5 birimdir.
Bir çemberin teğet noktasına çizilen yarıçap, teğet doğrusuna diktir.
2
OAPOAP dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanması
∣OA∣2+∣PA∣2=∣OP∣2⇒52+∣PA∣2=132⇒∣PA∣=12|OA|^2 + |PA|^2 = |OP|^2 \Rightarrow 5^2 + |PA|^2 = 13^2 \Rightarrow |PA| = 12 birim.
Teğet parçasının uzunluğunu bulmak için merkez, teğet noktası ve dış nokta arasındaki dik üçgen kullanılır.
3
Çemberde kuvvet (teğet-kesen) bağıntısının uygulanması
∣PA∣2=∣PB∣⋅∣PC∣⇒122=8⋅∣PC∣⇒144=8⋅∣PC∣⇒∣PC∣=18|PA|^2 = |PB| \cdot |PC| \Rightarrow 12^2 = 8 \cdot |PC| \Rightarrow 144 = 8 \cdot |PC| \Rightarrow |PC| = 18 birim.
Bir dış noktadan çizilen teğetin karesi, o noktadan geçen kesenin çemberi kestiği noktaların uzaklıkları çarpımına eşittir.
4
∣BC∣|BC| kiriş uzunluğunun hesaplanması
∣BC∣=∣PC∣−∣PB∣=18−8=10|BC| = |PC| - |PB| = 18 - 8 = 10 birim.
Kesenin tamamından çemberin dışında kalan parça çıkarılarak kiriş uzunluğu bulunur.

Anahtar Kavram

Çemberde Kuvvet ve Teğet Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru