Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Benzerlik

Bir ABCABC üçgeninde, ABAB kenarı üzerinde DD ve EE noktaları, ACAC kenarı üzerinde ise FF ve GG noktaları işaretlenmiştir. [DF]∥[EG]∥[BC][DF] \parallel [EG] \parallel [BC] paralelliği ve ∣AD∣=∣DE∣=∣EB∣|AD| = |DE| = |EB| eşitliği verilmektedir. DFGEDFGE dörtgeninin alanı 24 cm224 \text{ cm}^2 olduğuna göre, EBCGEBCG dörtgeninin alanı kaç  cm2\text{ cm}^2'dir?

  1. A
    30
  2. B
    32
  3. C
    36
  4. 40Cevap
  5. E
    48

Cevap

40
Üçgende eşit aralıklarla çizilen paralel doğrular, alanları S,3S,5S,7S...S, 3S, 5S, 7S... kuralına göre böler. Soruda verilen eşitliklere göre ortadaki bölge 3S3S, alttaki bölge 5S5S'tir. 3S=243S = 24 olduğundan S=8S=8 bulunur. İstenen alan 5S=5×8=405S = 5 \times 8 = 40 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Benzerlik oranlarını belirle
Kenarlar eşit parçalandığı için üçgenlerin benzerlik oranları sırasıyla 1/1, 1/2 ve 1/3 değil; tepe noktasına göre 1, 2, 3 birim uzaklıktadır. Temel benzerlik oranları k1=12k_1 = \frac{1}{2} ve k2=13k_2 = \frac{1}{3} şeklindedir.
Paralel doğrular eş aralıklarla çizildiğinde oluşan üçgenlerin benzerlik oranları ardışık tam sayılarla orantılıdır.
2
Alanlar oranını hesapla
Benzerlik oranının karesi alanlar oranına eşittir. Alanlar sırasıyla 121^2, 222^2, 323^2 yani 1A1A, 4A4A, 9A9A ile orantılıdır.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (S1/S2=k2S_1/S_2 = k^2).
3
Bölgelerin alanlarını S cinsinden ifade et
En üstteki üçgen (ADFADF): SS. Ortadaki dörtgen (DFGEDFGE): 4S−S=3S4S - S = 3S. En alttaki dörtgen (EBCGEBCG): 9S−4S=5S9S - 4S = 5S.
Büyük üçgenin alanından bir önceki küçük üçgenin alanı çıkarılarak aradaki dörtgenin alanı bulunur.
4
Verilen bilgiyi kullanarak S değerini bul ve sonucu hesapla
Verilen DFGEDFGE alanı 3S=243S = 24 ise S=8S = 8 bulunur. İstenen EBCGEBCG alanı 5S5S olduğuna göre, 5×8=40 cm25 \times 8 = 40 \text{ cm}^2 dir.
Denklem çözümü.

Anahtar Kavram

Üçgende benzerlik oranı kk ise, alanlar oranı k2k^2'dir. Eşit aralıklı paralellerde alanlar S,3S,5S,7S...S, 3S, 5S, 7S... şeklinde tek sayılarla orantılı artar.

İpuçları

1
Üçgenlerde benzerlik oranı kk ise, alanlar oranı k2k^2'dir.
2
Kenarlar eşit parçalara bölündüğünde (∣AD∣=∣DE∣=∣EB∣|AD|=|DE|=|EB|), oluşan bölgelerin alanları S,3S,5S...S, 3S, 5S... şeklinde artar.
3
Ortadaki dörtgenin alanı 3S3S değerine karşılık gelmektedir. 3S=243S = 24 eşitliğini kullanınız.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının 2/32/3 veya 3/43/4 gibi rasyonel sayı olduğu ve alan değişiminin sorulduğu sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Benzerlik

Bu konudan daha fazla soru