Sonlu bir E = \{e_1, e_2, e_3, e_4, e_5\} örnek uzayında tanımlı P olasılık fonksiyonu, her k \in \{1, 2, 3, 4, 5\} değeri için P(e_k) = c \cdot 2^k \neşitliğini sağlamaktadır (burada c bir gerçel sayıdır). Buna göre, bu örnek uzayda tanımlı A = \{e_2, e_4\} olayının gerçekleşme olasılığı P(A) kaçtı

Sonlu bir E = \{e_1, e_2, e_3, e_4, e_5\} örnek uzayında tanımlı P olasılık fonksiyonu, he… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Sonlu bir $E = \{e_1, e_2, e_3, e_4, e_5\}$ örnek uzayında tanımlı $P$ olasılık fonksiyonu, her $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ değeri için

P(e_k) = c \cdot 2^k

eşitliğini sağlamaktadır (burada

c

bir gerçel sayıdır).

Buna göre, bu örnek uzayda tanımlı $A = \{e_2, e_4\}$ olayının gerçekleşme olasılığı $P(A)$ kaçtır?

A olayının olasılığı 10/31'dir.

Olasılık fonksiyonunun tanımı gereği, örnek uzaydaki tüm elemanların olasılıkları toplamı 1 olmalıdır. Verilen

P(e_k) = c \cdot 2^k

bağıntısı kullanılarak toplam hesaplandığında

c(2+4+8+16+32) = 62c = 1

eşitliğinden

c=1/62

bulunur. İstenen

A=\{e_2, e_4\}

olayı için olasılıklar toplamı

P(e_2) + P(e_4) = 4c + 16c = 20c

olur. Değer yerine yazıldığında

20/62

, sadeleştirildiğinde ise

10/31

elde edilir.

Olasılık aksiyomu gereği, örnek uzaydaki tüm basit olayların olasılıkları toplamının 1'e eşit olması kuralını uygula.

\sum_{k=1}^{5} P(e_k) = 1 \implies c(2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) = 1

Bir örnek uzaydaki tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı daima 1'dir.

Parantez içindeki geometrik toplamı hesaplayarak sabiti (c) bul.

2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62 \implies 62c = 1 \implies c = \frac{1}{62}

Olasılık fonksiyonunun tam olarak tanımlanabilmesi için orantı sabiti bulunmalıdır.

İstenen A olayının olasılığını, kümeyi oluşturan elemanların olasılıklarını toplayarak hesapla.

P(A) = P(e_2) + P(e_4) = c \cdot 2^2 + c \cdot 2^4 = c(4 + 16) = 20c

Ayrık olayların birleşiminin olasılığı, olasılıkların toplamına eşittir.

Bulunan c değerini yerine yazarak sonucu sadeleştir.

P(A) = 20 \cdot \frac{1}{62} = \frac{20}{62} = \frac{10}{31}

Sonuç en sade haliyle ifade edilmelidir.

Bir örnek uzayda tanımlı olasılık fonksiyonu için tüm çıktıların olasılıkları toplamı 1'dir (

P(E)=1