Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Benzerlik

Bir ABCABC üçgeninde [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC]'dir. D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları işaretlenmiş olup ∣AD∣=4 cm|AD| = 4 \text{ cm}, ∣DB∣=2 cm|DB| = 2 \text{ cm}, ∣DE∣=(x+1) cm|DE| = (x+1) \text{ cm} ve ∣BC∣=(2x−1) cm|BC| = (2x-1) \text{ cm} bilgileri verilmiştir. Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    3
  2. B
    6
  3. C
    7
  4. 9Cevap
  5. E
    12

Cevap

Uzunluğu 9 cm olan seçenek doğrudur.
Verilen paralellik bilgisi doğrultusunda ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı, ∣AD∣|AD| uzunluğunun tüm ∣AB∣|AB| uzunluğuna oranı olan 4/6=2/34/6 = 2/3 olarak bulunur. Bu oran tabanlar arasındaki orana (∣DE∣/∣BC∣|DE|/|BC|) eşitlendiğinde x+12x−1=23\frac{x+1}{2x-1} = \frac{2}{3} denklemi kurulur. Buradan x=5x=5 değeri elde edilir ve ∣BC∣=2(5)−1=9|BC| = 2(5)-1 = 9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenler arasındaki benzerliği ve benzerlik oranını belirle.
△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC ve benzerlik oranı k=∣AD∣∣AB∣=44+2=46=23k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}'tür.
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için yöndeş açılar birbirine eşittir ve Açı-Açı benzerlik kuralı geçerlidir.
2
Benzer kenarlar arasındaki orantıyı kur.
∣DE∣∣BC∣=23⇒x+12x−1=23\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{x+1}{2x-1} = \frac{2}{3} denklemi elde edilir.
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların uzunlukları orantılıdır.
3
İçler dışlar çarpımı yaparak xx değerini çöz.
3(x+1)=2(2x−1)⇒3x+3=4x−2⇒x=53(x+1) = 2(2x-1) \Rightarrow 3x + 3 = 4x - 2 \Rightarrow x = 5 bulunur.
Rasyonel bir denklemi doğrusal denkleme dönüştürmek için içler dışlar çarpımı yapılır.
4
Bulunan xx değerini ∣BC∣|BC| ifadesinde yerine koy.
∣BC∣=2(5)−1=9 cm|BC| = 2(5) - 1 = 9 \text{ cm} olarak hesaplanır.
Soruda istenen değer ∣BC∣|BC| uzunluğudur.

Anahtar Kavram

Temel Benzerlik Teoremi (Thales)

İpuçları

1
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için ADEADE ve ABCABC üçgenlerinin benzer olduğunu unutmayın.
2
Benzerlik oranını yazarken ∣AD∣|AD| uzunluğunu ∣AB∣|AB| uzunluğuna (yani 4+24+2) oranlamanız gerekir.
3
Orantıyı 46=x+12x−1\frac{4}{6} = \frac{x+1}{2x-1} şeklinde kurup içler dışlar çarpımı yaparak xx değerine ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer üçgenlerde alanların oranının, benzerlik oranının karesine eşit olduğu kuralını içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Thales teoreminin parça-parça oranını (∣AD∣/∣DB∣=∣AE∣/∣EC∣|AD|/|DB| = |AE|/|EC|) kullanarak yan kenarlar arasındaki ilişkiyi bulabiliriz ancak tabanlar söz konusu olduğunda mutlaka parça-bütün (∣AD∣/∣AB∣|AD|/|AB|) oranı kullanılmalıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Benzerlik

Bu konudan daha fazla soru