E evrensel kümesinin boştan farklı A ve B alt kümeleri için, [(A \setminus B) \cup (B \set… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

E

evrensel kümesinin boştan farklı

A

B

alt kümeleri için,

[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]' \cap A

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

A \cap BCevap
B
A \setminus B
C
A
D
B
E
\emptyset

Cevap

İfadenin en sade hali

A \cap B

kümesidir.

Verilen ifade adım adım incelendiğinde; parantez içi

(A \setminus B) \cup (B \setminus A)

simetrik farkı belirtir. Bu bölge, sadece A'da ve sadece B'de olan elemanları kapsar. Bu ifadenin tümleyeni (

'

), kesişim bölgesi (

A \cap B

) ve kümelerin dışındaki bölgeyi (

(A \cup B)'

) verir. Son adımda bu bölgenin

A

ile kesişimi alındığında, evrensel kümenin dışı elenir ve geriye sadece

A

ile ortak olan kısım, yani

A \cap B

kalır.

Adım Adım Çözüm

Parantez içindeki ifadeyi (

X = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)

) analiz et.

Bu ifade,

A

veya

B

'de olup her ikisinde birden olmayan elemanları (Simetrik Fark) temsil eder.

Kümeler teorisinde fark işleminin tanımı gereği

A \setminus B

sadece A'da olanları,

B \setminus A

sadece B'de olanları verir.

Bu ifadenin tümleyenini (

X'

) düşün.

X'

, simetrik farkın dışındaki bölgedir. Yani hem

A

B

'nin kesişimi (

A \cap B

) hem de her iki kümenin dışı (

(A \cup B)'

) bu bölgededir.

Bir kümenin tümleyeni, o kümede bulunmayan tüm elemanları kapsar.

Bulunan bölgeyi

A

kümesi ile kesiştir (

\cap A

Simetrik farkın dışında kalan elemanlardan sadece

A

kümesinin içinde olanlar seçilmelidir.

(A \cup B)'

bölgesi

A

'nın dışındadır. Geriye sadece

A \cap B

kalır.

Kesişim işlemi, her iki kümede ortak olan elemanları verir.

A

'nın içinde olup simetrik farkta olmayan tek bölge kesişim bölgesidir.

Anahtar Kavram

Simetrik farkın tümleyeni, iki kümenin kesişimi ile iki kümenin birleşiminin tümleyeninin birleşimidir.

İpuçları

İfadeyi Venn şeması üzerinde bölgeleri tarayarak düşünmeyi deneyin.

(A \setminus B) \cup (B \setminus A)

ifadesi, 'Simetrik Fark' olarak bilinir ve kesişim hariç birleşimdeki tüm elemanları ifade eder.

Simetrik farkın tümleyeni, kesişim bölgesi (

A \cap B

) ile dış bölgenin birleşimidir. Bunu

A

ile kesiştirirseniz geriye ne kalır?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

[(A \cup B) \setminus (A \cap B)]' \cap B

ifadesini sadeleştirmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

De Morgan Kuralları ile cebirsel çözüm: Fark işlemini kesişime çevirin (

A \setminus B = A \cap B'

). İfade

[(A \cap B') \cup (B \cap A')]' \cap A

olur. De Morgan uygulandığında

(A' \cup B) \cap (B' \cup A) \cap A

elde edilir.

(B' \cup A) \cap A = A

olduğundan (yutma özelliği), geriye

(A' \cup B) \cap A

kalır. Dağılma özelliği ile

(A' \cap A) \cup (B \cap A) = \emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B

bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru