Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKoşullu Olasılık

Bir kamu kurumu tarafından açılan hizmet binası ihalesine A, B ve C olmak üzere üç farklı inşaat firması katılmıştır. İhaleyi A firmasının kazanma olasılığı %40, B firmasının %35 ve C firmasının %25'tir. İhaleyi kazanan firmaya göre inşaatın belirlenen sürede tamamlanamama (gecikme) olasılıkları sırasıyla %10, %20 ve %40 olarak öngörülmüştür. İnşaat süreci sonunda binanın zamanında teslim edildiği bilinmektedir.

Buna göre, ihaleyi B firmasının kazanmış olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    725\frac{7}{25}
  2. B
    13\frac{1}{3}
  3. 2879\frac{28}{79}Cevap
  4. D
    720\frac{7}{20}
  5. E
    45\frac{4}{5}

Cevap

İnşaatın zamanında teslim edildiği bilindiğine göre, ihaleyi B firmasının kazanmış olma olasılığı 2879\frac{28}{79}'dur.
Soruda bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde (inşaatın zamanında bitmesi), bunun belirli bir sebepten (B firması) kaynaklanma olasılığı sorulmaktadır. Bu klasik bir Bayes Teoremi problemidir. Doğru çözümde önce her firmanın zamanında bitirme olasılıkları (1−gecikme1 - \text{gecikme}) bulunur. Sonra toplam olasılık kuralı ile tüm 'zamanında bitme' olasılığı hesaplanır (0,790,79). Son olarak, B firmasının bu duruma katkısı (0,280,28), toplam olasılığa bölünerek 2879\frac{28}{79} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Olayları ve verilen olasılıkları tanımlayalım.
Firmaların kazanma olasılıkları: P(A)=0,40P(A)=0,40, P(B)=0,35P(B)=0,35, P(C)=0,25P(C)=0,25.
Gecikme (G) olasılıkları verilmiştir: P(G∣A)=0,10P(G|A)=0,10, P(G∣B)=0,20P(G|B)=0,20, P(G∣C)=0,40P(G|C)=0,40.
Bizden istenen durum 'Zamanında Teslim' (ZZ) olduğu için, her firma için zamanında teslim olasılıklarını (1−P(G)1 - P(G)) bulalım:
P(Z∣A)=1−0,10=0,90P(Z|A) = 1 - 0,10 = 0,90
P(Z∣B)=1−0,20=0,80P(Z|B) = 1 - 0,20 = 0,80
P(Z∣C)=1−0,40=0,60P(Z|C) = 1 - 0,40 = 0,60
Soruda 'zamanında teslim edildiği bilindiğine göre' dendiği için gecikme olasılıklarını değil, zamanında teslim olasılıklarını kullanmalıyız.
2
Toplam zamanında teslim edilme olasılığını (P(Z)P(Z)) hesaplayalım (Toplam Olasılık Kanunu).
P(Z)=P(Z∣A)⋅P(A)+P(Z∣B)⋅P(B)+P(Z∣C)⋅P(C)P(Z) = P(Z|A)\cdot P(A) + P(Z|B)\cdot P(B) + P(Z|C)\cdot P(C)
P(Z)=(0,90⋅0,40)+(0,80⋅0,35)+(0,60⋅0,25)P(Z) = (0,90 \cdot 0,40) + (0,80 \cdot 0,35) + (0,60 \cdot 0,25)
P(Z)=0,36+0,28+0,15=0,79P(Z) = 0,36 + 0,28 + 0,15 = 0,79
Bayes teoreminin paydasını oluşturmak için tüm olası 'zamanında teslim' senaryolarının toplamını bulmamız gerekir.
3
Koşullu olasılığı hesaplayalım (Bayes Teoremi).
Bizden istenen: P(B∣Z)=P(Z∣B)⋅P(B)P(Z)P(B | Z) = \frac{P(Z|B) \cdot P(B)}{P(Z)}
Pay: B firmasının kazanıp zamanında bitirme olasılığı = 0,280,28
Payda: Toplam zamanında bitme olasılığı = 0,790,79
Sonuç: 0,280,79=2879\frac{0,28}{0,79} = \frac{28}{79}
Koşullu olasılık formülü gereği, istenen durumun (B ve Zamanında) olasılığını, bilinen koşulun (Tüm Zamanında) toplam olasılığına oranlarız.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Olasılık

Bu konudan daha fazla soru