Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Benzerlik

Bir plaza binasının dış cephesinde kullanılan ABCDABCD yamuğu biçimindeki dekoratif alüminyum panelin alt ve üst kenarları birbirine paraleldir ([AB]∥[DC][AB] \parallel [DC]). Panelin köşegenleri ([AC][AC] ve [BD][BD]) KK noktasında kesişmektedir. Rüzgar direncini artırmak amacıyla, tam kesişim noktası KK'dan geçen ve tabanlara paralel olan bir [EF][EF] destek çubuğu monte edilmiştir (E∈[AD]E \in [AD], F∈[BC]F \in [BC]).

Panelin üst kenar uzunluğu ∣DC∣=60|DC| = 60 cm ve alt kenar uzunluğu ∣AB∣=180|AB| = 180 cm olduğuna göre, monte edilen [EF][EF] destek çubuğunun uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    45
  2. B
    60
  3. 90Cevap
  4. D
    120
  5. E
    135

Cevap

Destek çubuğunun uzunluğu 90 cm'dir.
Soruda verilen yapı bir yamuktur ve KK noktası köşegenlerin kesişim noktasıdır. Bu tip sorularda çözüm iki aşamalı benzerlik gerektirir. Önce 'Kelebek' (Kum saati) benzerliği ile köşegen parçaları arasındaki oran bulunur (60/180=1/360/180 = 1/3). Daha sonra bu oran, 'Temel Benzerlik Teoremi' kullanılarak destek çubuğunun parça uzunluklarını bulmak için kullanılır. ∣EK∣=45|EK| = 45 cm ve ∣KF∣=45|KF| = 45 cm bulunur, toplamda 9090 cm elde edilir. Alternatif olarak formül: 2⋅a⋅ca+c=2⋅60⋅180240=90\frac{2 \cdot a \cdot c}{a + c} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 180}{240} = 90 cm.

Adım Adım Çözüm

1
Kelebek benzerliğini belirle
Benzerlik oranı 1/3
[DC]∥[AB][DC] \parallel [AB] olduğu için △KDC∼△KBA\triangle KDC \sim \triangle KBA benzerliği vardır (Kelebek/Kum saati). Oran: ∣DC∣∣AB∣=60180=13\frac{|DC|}{|AB|} = \frac{60}{180} = \frac{1}{3}.
2
Köşegen üzerindeki oranları yaz
∣DK∣=k|DK| = k, ∣KB∣=3k|KB| = 3k
Benzerlik oranından dolayı köşegen parçaları arasında ∣DK∣∣KB∣=13\frac{|DK|}{|KB|} = \frac{1}{3} oranı vardır. Böylece köşegenin tamamı ∣DB∣=4k|DB| = 4k olur.
3
Temel benzerlik teoremini (Thales) uygula
∣EK∣=45|EK| = 45 cm
△DAB\triangle DAB üçgeninde EK∥ABEK \parallel AB olduğundan temel benzerlik uygulanır: ∣EK∣∣AB∣=∣DK∣∣DB∣⇒∣EK∣180=k4k=14\frac{|EK|}{|AB|} = \frac{|DK|}{|DB|} \Rightarrow \frac{|EK|}{180} = \frac{k}{4k} = \frac{1}{4}. Buradan ∣EK∣=1804=45|EK| = \frac{180}{4} = 45 cm bulunur.
4
Simetriyi kullanarak toplam uzunluğu bul
∣EF∣=90|EF| = 90 cm
Aynı işlem diğer taraf (△CAB\triangle CAB) için de geçerlidir, dolayısıyla ∣KF∣=45|KF| = 45 cm olur. Toplam uzunluk ∣EF∣=∣EK∣+∣KF∣=45+45=90|EF| = |EK| + |KF| = 45 + 45 = 90 cm'dir.

Anahtar Kavram

Yamukta köşegenlerin kesim noktasından geçen ve tabanlara paralel olan doğrunun uzunluğu, tabanların harmonik ortalaması ile ilişkilidir.

İpuçları

1
Şekilde önce 'Kelebek' (kum saati) benzerliğini görerek köşegen üzerindeki oranları belirleyin.
2
△KDC\triangle KDC ve △KBA\triangle KBA üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı 60/18060/180 yani 1/31/3'tür. Bu oran ∣DK∣/∣DB∣|DK|/|DB| oranını bulmanıza yardımcı olur.
3
∣DK∣/∣DB∣=1/4|DK|/|DB| = 1/4 oranını kullanarak, △DAB\triangle DAB üçgeninde Temel Benzerlik Teoremi ile ∣EK∣|EK| uzunluğunu hesaplayın. ∣EF∣|EF| bu uzunluğun iki katıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda, bu sefer destek çubuğunun uzunluğu verilip tabanlardan birinin sorulduğu ters işlem sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Formül Yöntemi: Yamukta köşegenlerin kesim noktasından geçen paralel doğrunun uzunluğu ∣EF∣=2⋅alt⋅u¨stalt+u¨st|EF| = \frac{2 \cdot \text{alt} \cdot \text{üst}}{\text{alt} + \text{üst}} formülü ile de bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Benzerlik

Bu konudan daha fazla soru