Examkin

Soru

Zorluk: ZorKoşullu Olasılık

Bir torbada 3 mavi, 4 kırmızı ve 2 yeşil bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele iki bilye aynı anda çekiliyor.

Çekilen bilyelerin renklerinin birbirinden farklı olduğu bilindiğine göre, bu bilyelerden birinin mavi diğerinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    13\frac{1}{3}
  2. B
    313\frac{3}{13}
  3. C
    413\frac{4}{13}
  4. 613\frac{6}{13}Cevap
  5. E
    1225\frac{12}{25}

Cevap

I˙stenenkos\culluolasılıkdeg˘eri613′tu¨r.İstenen koşullu olasılık değeri \frac{6}{13}'tür.
Soruda 'çekilen bilyelerin renklerinin farklı olduğu bilindiğine göre' ifadesi örnek uzayı kısıtlar. Toplam 36 olası ikiliden, renkleri aynı olan 10 durum (MM, KK, YY) çıkarıldığında geriye 26 durum kalır. Bu 26 durum içinden Mavi-Kırmızı olanlar 12 tanedir. Olasılık 12/2612/26, sadeleştirilince 6/136/13 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası ikili çekimlerin sayısını hesapla (Genel Örnek Uzay).
Top: 3M + 4K + 2Y = 9 bilye. (92)=9×82=36\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36.
Olasılık hesabının temelini oluşturmak için toplam durum sayısı bilinmelidir.
2
Koşul olan 'renklerin farklı olması' durumunun sayısını bul (Yeni Örnek Uzay).
Aynı renk olma durumları: (32)\binom{3}{2} (Mavi) + (42)\binom{4}{2} (Kırmızı) + (22)\binom{2}{2} (Yeşil) = 3 + 6 + 1 = 10. Farklı renk durumları: 36−10=2636 - 10 = 26.
Koşullu olasılıkta payda, koşulun sağlandığı durum sayısıdır (Ekos\culE_{koşul}).
3
İstenen 'birinin mavi diğerinin kırmızı' olma durum sayısını bul (A∩BA \cap B).
Mavi ve Kırmızı seçimi: (31)×(41)=3×4=12\binom{3}{1} \times \binom{4}{1} = 3 \times 4 = 12.
Pay kısmına, hem koşulu sağlayan hem de istenen özelliklere sahip durumlar yazılır.
4
Koşullu olasılığı hesapla.
P(A|B) = 1226=613\frac{12}{26} = \frac{6}{13}.
İstenen durum sayısı / Koşullu örnek uzay sayısı.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılıkta, örnek uzay daraltılır. P(A∣B)=s(A∩B)s(B)P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)} formülü kullanılır, burada s(B)s(B) koşulu sağlayan durum sayısıdır.

İpuçları

1
Önce tüm olası ikililerin sayısını hesaplayın, ardından 'renklerin farklı olduğu' durumların sayısını bularak yeni örnek uzayınızı belirleyin.
2
Renklerin farklı olduğu durumları tek tek (MK, MY, KY) toplayarak veya tüm durumlardan aynı renk olma (MM, KK, YY) durumlarını çıkararak bulabilirsiniz.
3
Payda: Tüm durumlar (36) eksi Aynı Renkler (3+6+1=10) = 26. Pay: Mavi ve Kırmızı sayısı (3x4=12). Oran 12/26.

Alternatif Yöntem

Kombinasyon yerine gruplandırma yöntemi: Farklı renk grupları MK (3x4=12), MY (3x2=6), KY (4x2=8). Toplam koşullu durum = 12+6+8 = 26. İstenen (MK) = 12. Sonuç 12/26.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Olasılık

Bu konudan daha fazla soru