Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKoşullu Olasılık

Bir kamu kurumunda gerçekleştirilen Görevde Yükselme Sınavı'na A, B ve C birimlerinden personel katılmıştır. Sınav süreci, önce yazılı sınav ve ardından sadece yazılı sınavda başarılı olanlar için sözlü mülakat olmak üzere iki aşamadan oluşmaktadır.

Personelin birimlere göre dağılımı ve aşamalardaki başarı oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

BirimKatılım OranıYazılı Sınav Başarı OranıMülakat Başarı Oranı*
A%30%60%50
B%30%40%50
C%40%50%40

* *Not: Mülakat başarı oranı, yalnızca yazılı sınavı geçen personel üzerinden hesaplanmıştır.*

Buna göre, sınav sürecinin herhangi bir aşamasında elendiği (başarısız olduğu) bilinen rastgele seçilmiş bir personelin, A biriminden olma olasılığı kaçtır?

  1. 311\frac{3}{11}Cevap
  2. B
    2477\frac{24}{77}
  3. C
    3277\frac{32}{77}
  4. D
    21100\frac{21}{100}
  5. E
    710\frac{7}{10}

Cevap

Sınavda elenen birinin A biriminden olma olasılığı 311\frac{3}{11}'dir.
Soruda, halihazırda elendiği bilinen bir kişinin A biriminden olma olasılığı sorulmaktadır. Bu bir koşullu olasılık problemidir (Bayes). Öncelikle her birim için 'toplam elenme' oranlarını bulmalıyız. Bir personel ya yazılı sınavda elenir ya da yazılıyı geçip mülakatta elenir. A birimi için bu oran %70, B için %80 ve C için %80 olarak hesaplanır. Ağırlıklı genel elenme oranı (payda) %77 bulunur. A biriminin bu elenme içindeki payı %21'dir. Sonuç 2177\frac{21}{77} yani 311\frac{3}{11}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Her birim için 'Elenme' (Başarısız Olma) olasılıklarını hesapla.
Elenme = (Yazılıdan Kalma) VEYA (Yazılıyı Geçip Mülakattan Kalma)
Bir personel iki farklı aşamada elenebilir, bu iki durum ayrık olaylardır.
2
A birimi için elenme olasılığını (P(E∣A)P(E|A)) bul.
P(E∣A)=0,40+(0,60×0,50)=0,40+0,30=0,70P(E|A) = 0,40 + (0,60 \times 0,50) = 0,40 + 0,30 = 0,70
A'nın yazılıdan kalma oranı %40, yazılıyı geçip (%60) mülakattan kalma oranı %50'dir.
3
B birimi için elenme olasılığını (P(E∣B)P(E|B)) bul.
P(E∣B)=0,60+(0,40×0,50)=0,60+0,20=0,80P(E|B) = 0,60 + (0,40 \times 0,50) = 0,60 + 0,20 = 0,80
B'nin yazılıdan kalma oranı %60, yazılıyı geçip (%40) mülakattan kalma oranı %50'dir.
4
C birimi için elenme olasılığını (P(E∣C)P(E|C)) bul.
P(E∣C)=0,50+(0,50×0,60)=0,50+0,30=0,80P(E|C) = 0,50 + (0,50 \times 0,60) = 0,50 + 0,30 = 0,80
C'nin yazılıdan kalma oranı %50, yazılıyı geçip (%50) mülakattan kalma oranı %60'tır.
5
Toplam elenme olasılığını (P(E)P(E)) hesapla (Bayes Paydası).
P(E)=(0,30×0,70)+(0,30×0,80)+(0,40×0,80)=0,21+0,24+0.32=0,77P(E) = (0,30 \times 0,70) + (0,30 \times 0,80) + (0,40 \times 0,80) = 0,21 + 0,24 + 0.32 = 0,77
Her birimin katılım oranı ile o birimin elenme olasılığı çarpılıp toplanır.
6
Koşullu olasılığı (P(A∣E)P(A|E)) hesapla.
P(A∩E)P(E)=0,210,77=2177=311\frac{P(A \cap E)}{P(E)} = \frac{0,21}{0,77} = \frac{21}{77} = \frac{3}{11}
İstenen durum (A'dan katılıp elenenler) toplam duruma (tüm elenenler) oranlanır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Ağaç Diyagramı Yöntemi

İpuçları

1
Öncelikle her bir birim (A, B, C) için personelin sınavı 'geçememe' (elenme) olasılığını ayrı ayrı hesaplayın. Unutmayın, elenmek için iki yol vardır: Yazılıdan kalmak VEYA Yazılıyı geçip mülakattan kalmak.
2
A birimi için elenme olasılığı: (Yazılıdan Kalma %40) + (Yazılıyı Geçme %60 × Mülakattan Kalma %50) şeklinde hesaplanır. Bunu B ve C için de yapın.
3
Bayes formülünü uygulayın: Pay kısmına 'A biriminden olup elenenlerin oranı' (0,30×0,700,30 \times 0,70), payda kısmına ise 'Tüm elenenlerin oranı' gelmelidir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'sınavı kazandığı bilinen birinin B biriminden olma olasılığı' şeklinde çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ağaç diyagramı çizerek 1000 kişilik hayali bir örneklem grubu üzerinden gidebilirsiniz. A(300 kişi) -> Yazılıyı geçen(180), Kalan(120). Geçenlerden Mülakatı geçen(90), Kalan(90). A'dan toplam elenen = 120+90=210. Tüm birimler için bunu yapıp oranlayın.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Olasılık

Bu konudan daha fazla soru