Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Boştan farklı KK ve LL kümeleri, EE evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Aşağıdaki eşitlikler bu kümeler için geçerlidir:

s(K∪L)=30s(K \cup L) = 30
s(K∖L)+s(L∖K)=4⋅s(K∩L)s(K \setminus L) + s(L \setminus K) = 4 \cdot s(K \cap L)
s(K)=2⋅s(L)s(K) = 2 \cdot s(L)
s(K′)=18s(K') = 18

Verilen bu bilgilere göre, L′L' (L kümesinin tümleyeni) eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    18
  3. C
    24
  4. 30Cevap
  5. E
    36

Cevap

L kümesinin tümleyeninin eleman sayısı 30'dur.
Verilen eşitlikler kullanılarak küme eleman sayıları sırasıyla bulunur. s(K∪L)=30s(K \cup L) = 30 ve farkların toplamı kesişimin 4 katı olduğundan kesişim 6 bulunur. s(K)=2s(L)s(K)=2s(L) eşitliğinden KK fark LL kümesi 18, LL fark KK kümesi 6 bulunur. K′K' bilgisiyle evrensel kümenin dışındaki eleman sayısı 12 olarak hesaplanır. Son olarak L′L', KK fark LL ile dış bölgenin toplamı olan 30'a eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim kümesinin eleman sayısını (xx) belirle.
s(K∩L)=xs(K \cap L) = x olsun.
Bilinmeyenleri ifade etmek için değişkene ihtiyaç vardır.
2
Fark kümelerinin toplamını xx cinsinden ifade et ve birleşim formülünü kullan.
s(K∖L)+s(L∖K)=4xs(K \setminus L) + s(L \setminus K) = 4x olduğundan, s(K∪L)=4x+x=5x=30⇒x=6s(K \cup L) = 4x + x = 5x = 30 \Rightarrow x = 6.
Birleşim kümesi, fark kümeleri ve kesişimin toplamına eşittir.
3
Fark kümelerinin eleman sayılarını (aa ve bb) bulmak için s(K)=2⋅s(L)s(K) = 2 \cdot s(L) eşitliğini kullan.
s(K∖L)=as(K \setminus L) = a, s(L∖K)=bs(L \setminus K) = b olsun. a+b=24a + b = 24. s(K)=a+6s(K) = a + 6, s(L)=b+6s(L) = b + 6. a+6=2(b+6)⇒a=2b+6a + 6 = 2(b + 6) \Rightarrow a = 2b + 6. Denklem çözülürse b=6,a=18b=6, a=18.
İki bilinmeyenli denklem sistemi çözülmelidir.
4
Evrensel kümenin dışındaki (yy) eleman sayısını s(K′)=18s(K') = 18 bilgisinden bul.
s(K′)=s(L∖K)+s((K∪L)′)=6+y=18⇒y=12s(K') = s(L \setminus K) + s((K \cup L)') = 6 + y = 18 \Rightarrow y = 12.
Bir kümenin tümleyeni, o kümenin dışındaki tüm elemanları kapsar.
5
İstenen s(L′)s(L') değerini hesapla.
s(L′)=s(K∖L)+s((K∪L)′)=18+12=30s(L') = s(K \setminus L) + s((K \cup L)') = 18 + 12 = 30.
L'nin tümleyeni, L dışındaki elemanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemleri arasındaki cebirsel ilişkiler.

İpuçları

1
Kümeleri Venn şeması çizerek gösterin ve her bölgeye (K∖LK \setminus L, K∩LK \cap L, L∖KL \setminus K ve dış bölge) birer değişken atayın (örneğin a,x,b,ya, x, b, y).
2
s(K∪L)s(K \cup L) formülünü kullanarak önce kesişim kümesinin eleman sayısını (xx) bulun.
3
s(K′)=s(L∖K)+s((K∪L)′)s(K') = s(L \setminus K) + s((K \cup L)') eşitliğini kullanarak dış bölgedeki eleman sayısını (yy) bulun, sonra L′L' için s(K∖L)+ys(K \setminus L) + y toplamını hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu üç küme (A,B,CA, B, C) için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Denklem sistemi yerine değer vererek deneme yapılabilir, ancak s(K)=2s(L)s(K)=2s(L) şartını sağlayan tek tam sayı çözümünü bulmak zor olabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru