E evrensel kümesinin alt kümeleri olan A ve B için aşağıdaki bilgiler verilmiştir: * s(E) … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$E$ evrensel kümesinin alt kümeleri olan $A$ ve $B$ için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $s(E) = 40$
* $s(A' \cup B') = 32$
* $s(A' \cap B') = 6$
* $s(A \setminus B) = 3 \cdot s(B \setminus A) - 14$

Buna göre, $B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

B kümesinin eleman sayısı 18'dir.

Soruda verilen De Morgan ifadelerinden hareketle

s(A \cap B) = 8

s(A \cup B) = 34

olduğu saptanır. Birleşim formülü kullanılarak

A

B

kümelerinin fark bölgelerinin toplamının 26 olduğu bulunur. Verilen cebirsel bağıntı (

s(A \setminus B) = 3 \cdot s(B \setminus A) - 14

) kullanılarak

s(B \setminus A)

değeri 10 olarak hesaplanır.

B

kümesinin tamamı sorulduğu için bu fark değerine kesişim eklenerek 18 sonucuna ulaşılır.

De Morgan yasasını kullanarak kesişim kümesinin eleman sayısını belirlemek.

s(A \cap B) = 8

s(A' \cup B') = s((A \cap B)') = 32

olduğundan, evrensel kümeden tümleyen çıkarıldığında kesişim bulunur:

s(A \cap B) = 40 - 32 = 8

De Morgan yasasını kullanarak birleşim kümesinin eleman sayısını belirlemek.

s(A \cup B) = 34

s(A' \cap B') = s((A \cup B)') = 6

olduğundan, evrensel kümeden dış bölge çıkarıldığında birleşim bulunur:

s(A \cup B) = 40 - 6 = 34

Kümelerin fark bölgeleri arasındaki ilişkiyi kullanarak denklem kurmak.

s(B \setminus A) = 10

s(A \setminus B) = 16

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)

formülünde bilinenler yerine yazılırsa:

34 = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + 8 \Rightarrow s(A \setminus B) + s(B \setminus A) = 26

. Sorudaki denklemde

s(B \setminus A) = k

denirse:

(3k - 14) + k = 26 \Rightarrow 4k = 40 \Rightarrow k = 10

bulunur.

B

kümesinin toplam eleman sayısını hesaplamak.

s(B) = 18

s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B)

olduğundan,

10 + 8 = 18

elde edilir.

Kümelerde De Morgan yasaları ve fark işleminin eleman sayısı hesaplamalarıyla olan ilişkisi.

Soru