Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜçgende Benzerlik

Bir ABCABC üçgeninde, D∈[AC]D \in [AC] ve E∈[BC]E \in [BC] noktaları işaretlenmiştir. Üçgen üzerinde ∣AD∣=2∣DC∣|AD| = 2|DC| ve ∣BE∣=∣EC∣|BE| = |EC| eşitlikleri verilmiştir. [AE][AE] ve [BD][BD] doğru parçaları FF noktasında kesişmektedir. ∣BF∣=12|BF| = 12 cm olduğuna göre, ∣FD∣|FD| kaç santimetredir?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Cevap
  4. D
    9
  5. E
    10

Cevap

FD uzunluğu 8 cm'dir.
Soruyu çözmek için E noktasından [BD]'ye paralel çizmek en pratik yöntemdir (Menelaus teoremi müfredat dışı kabul edilse bile benzerlikle ispatlanabilir). Bu paralel çizildiğinde BCD üçgeninde orta taban oluşur ve AC üzerindeki oranlar parçalanır. Oluşan yeni üçgenlerdeki (AKE ve AFD) temel benzerlik oranı 4/5 bulunur. Bu oranlar yerine konulduğunda istenen uzunluk 8 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
E noktasından [BD] doğrusuna paralel bir yardımcı doğru çizin ve bu doğrunun [AC] kenarını kestiği noktaya K deyin.
[EK] // [BD] olur.
Üçgende benzerlik (Tales) teoremini uygulayabilmek için paralel bir doğruya ihtiyaç vardır.
2
BCD üçgeninde temel orantı teoremini (Tales) uygulayın.
E noktası [BC]'nin orta noktası olduğundan (|BE|=|EC|), K noktası da [DC]'nin orta noktası olur. Yani |DK| = |KC| = k diyelim.
Bir üçgenin bir kenarının orta noktasından diğer kenara çizilen paralel doğru, üçüncü kenarı da ortalar (Orta Taban).
3
Verilen |AD| = 2|DC| oranını kullanarak AD uzunluğunu k cinsinden ifade edin.
|DC| = 2k olduğundan, |AD| = 2(2k) = 4k olur.
Soruda verilen oranları ortak birim cinsinden yazarak karşılaştırma yapmak için.
4
AKE üçgeninde [FD] // [EK] paralelliğini kullanarak benzerlik oranını hesaplayın.
Benzerlik oranı = |AD| / |AK| = 4k / (4k + k) = 4/5. Dolayısıyla |FD| / |EK| = 4/5 olur.
Temel benzerlik teoremine göre paralel doğrular kenarları aynı oranda böler.
5
BF ve FD arasındaki ilişkiyi kurarak sonuca ulaşın.
|EK|, BCD üçgeninde orta taban olduğundan |EK| = |BD|/2'dir. Buradan |BD| = 2|EK| olur. |FD| = (4/5)|EK| olduğunu bulmuştuk. |BF| = |BD| - |FD| = 2|EK| - 0.8|EK| = 1.2|EK|. Verilen |BF|=12 ise, 1.2|EK|=12 => |EK|=10. O halde |FD| = 0.8 * 10 = 8 cm.
Parçalar arasındaki cebirsel ilişkiyi çözerek istenen uzunluğu bulmak için.

Anahtar Kavram

Üçgende Benzerlik ve Yardımcı Doğru Çizimi (Menelaus Alternatifi)

İpuçları

1
Üçgenin içinde kesişen doğrular gördüğünüzde ve doğrudan bir oran yoksa, paralel bir yardımcı doğru çizmeyi deneyin.
2
E noktası [BC] kenarının orta noktasıdır. E noktasından [BD] doğrusuna paralel çizerseniz, [AC] kenarını nasıl böler?
3
Çizdiğiniz paralel ile oluşan orta tabanı görün. Daha sonra yukarıdaki AKE üçgeninde oluşan benzerliği kullanarak |AD| ve |AK| oranını yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer oranların verildiği ancak kesişim noktasının dışarıda olduğu 'Kelebek Benzerliği' sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Menelaus teoremi ile: ADC üçgeni ve E-F-B keseni için; (CB/CE) * (EF/FA) * (AD/DB)... Bu soru için Menelaus teoremi A-E-C üçgeni ve B-F-D keseni için uygulanırsa: (|CB|/|CE|) * (|EK|/|KA|) gibi karmaşık olabilir. En kolayı dışarıdan paralel tamamlamaktır.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Benzerlik

Bu konudan daha fazla soru