Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇember ve Daire

Bir kenar uzunluğu 66 cm olan bir ABCDABCD karesinin içine; AA ve BB köşeleri merkez kabul edilerek 66 cm yarıçaplı iki çeyrek çember çiziliyor. Buna göre, kare içerisinde bu iki çember yayının kesişmesiyle oluşan kapalı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. 12π−9312\pi - 9\sqrt{3}Cevap
  2. B
    6π−936\pi - 9\sqrt{3}
  3. C
    18π−3618\pi - 36
  4. D
    12π−18312\pi - 18\sqrt{3}
  5. E
    9π−939\pi - 9\sqrt{3}

Cevap

12π−9312\pi - 9\sqrt{3} ifadesi, iki adet 60∘60^\circ'lik daire diliminin alanından bir eşkenar üçgenin alanının çıkarılmasıyla elde edilen doğru alandır.
Kare içinde oluşturulan ABEABE eşkenar üçgeninin açısı 60∘60^\circ olduğu için, her iki merkezden çizilen yaylar 60∘60^\circ'lik daire dilimleri oluşturur. Bu iki dilimin alanları toplamı (6π+6π=12π6\pi + 6\pi = 12\pi), ortak olan ABEABE eşkenar üçgeninin alanını (939\sqrt{3}) iki kez içerir. Bu nedenle toplam alandan bir kez üçgenin alanı çıkarılarak 12π−9312\pi - 9\sqrt{3} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktasını belirleme
Kesişim noktası EE olsun. ∣AE∣=6|AE| = 6 cm ve ∣BE∣=6|BE| = 6 cm (yarıçaplar).
Her iki çemberin yarıçapı karenin bir kenarına (66 cm) eşittir.
2
Eşkenar üçgeni tanımlama
∣AB∣=∣AE∣=∣BE∣=6|AB| = |AE| = |BE| = 6 cm olduğundan ABEABE üçgeni bir eşkenar üçgendir.
Üç kenarı da yarıçap uzunluğuna eşit olan bir üçgen oluşur.
3
Merkez açıları hesaplama
m(EAB^)=60∘m(\widehat{EAB}) = 60^\circ ve m(EBA^)=60∘m(\widehat{EBA}) = 60^\circ olur.
Eşkenar üçgenin iç açıları 60∘60^\circ'dir.
4
Daire dilimi ve üçgen alanlarını hesaplama
60∘60^\circ'lik dilim alanı =60360⋅π⋅62=6π= \frac{60}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = 6\pi. Eşkenar üçgen alanı =6234=93= \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}.
Daire dilimi alanı α360πr2\frac{\alpha}{360} \pi r^2 ve eşkenar üçgen alanı a234\frac{a^2\sqrt{3}}{4} formülleriyle bulunur.
5
Toplam taralı alanı bulma
Alan =Alan(A-BE dilimi)+Alan(B-AE dilimi)−Alan(ABE u¨c¸geni)=6π+6π−93=12π−93= \text{Alan}(A\text{-}BE \text{ dilimi}) + \text{Alan}(B\text{-}AE \text{ dilimi}) - \text{Alan}(ABE \text{ üçgeni}) = 6\pi + 6\pi - 9\sqrt{3} = 12\pi - 9\sqrt{3}.
İki dilim toplandığında ortadaki eşkenar üçgen iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Daire dilimlerinin kesişim bölgesinin alanı, kapsayıcı geometrik şekillerin alan farkları ve trigonometrik oranlar kullanılarak hesaplanır.

İpuçları

1
Karenin kenarı ile çemberlerin yarıçapları arasındaki ilişkiye dikkat edin.
2
Yayların kesişim noktasını köşelerle birleştirdiğinizde oluşan üçgenin türünü belirleyin.
3
Oluşan eşkenar üçgenin açısının 60∘60^\circ olduğunu kullanarak dilim alanlarını toplayın ve ortak bölgeyi çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Bu soruyu, çeyrek çemberlerin merkezlerini karşı köşeler (CC ve DD) olarak değiştirerek tekrar çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru