Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri
EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB kümeleri için;
s(A∖B)=2⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)
s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6
s(A′)=10s(A') = 10
s(B′)=14s(B') = 14
eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, EE evrensel kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    18
  2. B
    20
  3. C
    22
  4. 24Cevap
  5. E
    28

Cevap

E evrensel kümesinin eleman sayısı 24'tür.
Soruda verilen fark ve kesişim bilgileri kullanılarak kümelerin eleman sayıları xx değişkeni cinsinden ifade edilir. s(A)+s(A′)=s(E)s(A) + s(A') = s(E) ve s(B)+s(B′)=s(E)s(B) + s(B') = s(E) bağıntıları kullanılarak iki denklem kurulur. Bu denklemlerin çözümünden x=4x=4 bulunur ve s(E)=24s(E)=24 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenleri tanımla
s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x olsun. Bu durumda verilen eşitliğe göre s(A∖B)=2xs(A \setminus B) = 2x olur.
Kümelerdeki eleman sayılarını tek bir değişken cinsinden ifade etmek için.
2
A ve B kümelerinin eleman sayılarını yaz
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=2x+6s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 2x + 6 ve s(B)=s(B∖A)+s(A∩B)=x+6s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) = x + 6.
Tümleme işlemi evrensel küme ile kümenin kendisi arasındaki ilişkiye dayandığı için küme eleman sayılarına ihtiyaç vardır.
3
Evrensel küme denklemlerini kur
s(E)=s(A)+s(A′)⇒s(E)=(2x+6)+10=2x+16s(E) = s(A) + s(A') \Rightarrow s(E) = (2x + 6) + 10 = 2x + 16 ve s(E)=s(B)+s(B′)⇒s(E)=(x+6)+14=x+20s(E) = s(B) + s(B') \Rightarrow s(E) = (x + 6) + 14 = x + 20.
Her iki tümleme bilgisini de kullanarak E kümesi için iki farklı ifade elde etmek ve bunları eşitlemek.
4
Denklemleri eşitle ve x'i bul
2x+16=x+20⇒x=42x + 16 = x + 20 \Rightarrow x = 4.
Bilinmeyen değişkenin değerini bulmak.
5
s(E) değerini hesapla
s(E)=x+20=4+20=24s(E) = x + 20 = 4 + 20 = 24.
Bulunan değişkeni yerine koyarak istenen sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Bir küme ile tümleyeninin eleman sayıları toplamı, evrensel kümenin eleman sayısını verir: s(A)+s(A′)=s(E)s(A) + s(A') = s(E).

İpuçları

1
Bir kümenin kendisi ile tümleyeninin eleman sayıları toplamı neye eşittir? s(A)+s(A′)=?s(A) + s(A') = ?
2
s(B∖A)s(B \setminus A) değerine xx diyerek başlayın. Bu durumda s(A∖B)s(A \setminus B) ne olur? s(A)s(A) ve s(B)s(B)'yi xx cinsinden yazmayı deneyin.
3
s(E)=s(A)+10s(E) = s(A) + 10 ve s(E)=s(B)+14s(E) = s(B) + 14 eşitliklerini kullanarak s(A)s(A) ve s(B)s(B) arasındaki farkı bulun, ardından xx değerini çözün.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine farkları kullanalım: s(E)=s(A)+10=s(B)+14s(E) = s(A) + 10 = s(B) + 14 olduğundan s(A)−s(B)=4s(A) - s(B) = 4 olmalıdır. Kümeleri bölgelere ayırırsak s(A)−s(B)=s(A∖B)−s(B∖A)s(A) - s(B) = s(A \setminus B) - s(B \setminus A) olur. 2x−x=4⇒x=42x - x = 4 \Rightarrow x=4. Buradan s(E)s(E) hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru