Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇember ve Daire

Yarıçapı 6 cm olan O merkezli bir dairede, uzunluğu 636\sqrt{3} cm olan bir AB kirişi çizilmiştir.

Buna göre, bu kiriş ile dairenin küçük yayı arasında kalan bölgenin alanı kaç cm2cm^2'dir?

  1. A
    6π−936\pi - 9\sqrt{3}
  2. 12π−9312\pi - 9\sqrt{3}Cevap
  3. C
    12π+9312\pi + 9\sqrt{3}
  4. D
    24π−9324\pi - 9\sqrt{3}
  5. E
    12π−1812\pi - 18

Cevap

İstenen alan 12π−9312\pi - 9\sqrt{3} cm2cm^2 olarak bulunur.
Soruda verilen kiriş uzunluğu (636\sqrt{3}) ve yarıçap (6) ilişkisi incelendiğinde, oluşan OAB üçgeninin bir 30-30-120 üçgeni olduğu görülür (r,r,r3r, r, r\sqrt{3} özelliği). Bu durumda merkez açı 120°'dir. İstenen alan, 120 derecelik daire diliminin alanından OAB üçgeninin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Dilim alanı 12π12\pi, üçgen alanı 939\sqrt{3} olduğundan doğru cevap 12π−9312\pi - 9\sqrt{3} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Merkez açıyı belirle
120°
O merkezinden AB kirişine dikme indirilirse veya kosinüs teoremi uygulanırsa, kenarları 6, 6 ve 636\sqrt{3} olan üçgenin tepe açısı (merkez açı) 120° bulunur (30-30-120 üçgeni özelliği).
2
Daire diliminin alanını hesapla
12π12\pi
Alan = πr2⋅α360=π⋅62⋅120360=36π⋅13=12π\pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360} = \pi \cdot 6^2 \cdot \frac{120}{360} = 36\pi \cdot \frac{1}{3} = 12\pi.
3
OAB üçgeninin alanını hesapla
939\sqrt{3}
Alan = 12r2sin⁡(120∘)=12⋅36⋅32=93\frac{1}{2} r^2 \sin(120^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}.
4
Daire parçasının alanını bul
12π−9312\pi - 9\sqrt{3}
Daire Parçası Alanı = Daire Dilimi Alanı - Üçgen Alanı.

Anahtar Kavram

Daire parçasının alanı, ilgili daire diliminin alanından merkezdeki üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.

İpuçları

1
Önce dairenin merkezini kirişin uç noktalarına birleştirerek oluşan üçgenin kenar uzunluklarını inceleyin (6,6,636, 6, 6\sqrt{3}).
2
Bir üçgenin kenarları k,k,k3k, k, k\sqrt{3} oranındaysa, bu üçgenin tepe açısı 120° olan bir ikizkenar üçgendir.
3
Daire parçasının alanını bulmak için; 120 derecelik daire diliminin alanından, merkezdeki üçgenin alanını çıkarın.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanarak açıyı bulmak: (63)2=62+62−2(6)(6)cos⁡(α)(6\sqrt{3})^2 = 6^2 + 6^2 - 2(6)(6)\cos(\alpha) denklemini çözerek cos⁡(α)=−1/2\cos(\alpha) = -1/2 ve α=120∘\alpha = 120^{\circ} bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru