Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

EE evrensel kümesinin boştan farklı AA ve BB alt kümeleri için tanımlanan (A∖B)′∩(A∪B)(A \setminus B)' \cap (A \cup B) ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    AA
  2. BBCevap
  3. C
    A∩BA \cap B
  4. D
    EE
  5. E
    A∪BA \cup B

Cevap

İfadenin en sade hali BB kümesidir.
Verilen (A∖B)′∩(A∪B)(A \setminus B)' \cap (A \cup B) ifadesinde öncelikle fark işlemi A∩B′A \cap B' olarak yazılır. De Morgan kuralı ile (A∩B′)′(A \cap B')' ifadesi A′∪BA' \cup B olur. Böylece tüm ifade (A′∪B)∩(A∪B)(A' \cup B) \cap (A \cup B) şekline dönüşür. Burada BB bileşeni ve birleşim işlemi ortaktır. İfade B∪(A′∩A)B \cup (A' \cap A) parantezine alınır. Bir küme ile tümleyeninin kesişimi boş küme (A′∩A=∅A' \cap A = \emptyset) olduğundan, sonuç B∪∅=BB \cup \emptyset = B bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fark işlemini kesişim ve tümleme cinsinden ifade et.
A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B' olduğu için ifade (A∩B′)′∩(A∪B)(A \cap B')' \cap (A \cup B) halini alır.
Küme işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için fark işlemi genellikle kesişime çevrilir.
2
De Morgan kuralını uygula.
(A∩B′)′=A′∪(B′)′=A′∪B(A \cap B')' = A' \cup (B')' = A' \cup B olur.
Parantez dışındaki tümleme işlemini içeri dağıtmak için De Morgan kuralı kullanılır.
3
Elde edilen ifadeyi ana denklemde yerine yaz ve ortak paranteze al (Dağılma özelliğinin tersi).
İfade (A′∪B)∩(A∪B)(A' \cup B) \cap (A \cup B) şekline dönüşür. Her iki tarafta da ∪B\cup B ortaktır. Bu ifadeyi B∪(A′∩A)B \cup (A' \cap A) şeklinde düzenleyebiliriz.
Sağdan dağılma özelliğinin tersini kullanarak ifade sadeleştirilir.
4
Tümleme özelliğini kullanarak sonucu bul.
A′∩A=∅A' \cap A = \emptyset (boş küme) olduğundan işlem B∪∅B \cup \emptyset haline gelir. Sonuç BB olur.
Bir küme ile tümleyeninin kesişimi boş kümedir; boş küme ile bir kümenin birleşimi kümenin kendisidir.

Anahtar Kavram

Küme cebrinde fark işleminin (A∖B=A∩B′)(A \setminus B = A \cap B') dönüşümü, De Morgan kuralları ve dağılma özelliği kullanılarak sembolik sadeleştirme yapılması.

İpuçları

1
Öncelikle A∖BA \setminus B (A fark B) işlemini kesişim ve tümleme cinsinden yazmayı deneyin.
2
A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B' eşitliğini kullanın ve ardından parantez dışındaki tümleme işlemi için De Morgan kuralını uygulayın.
3
İfadeyi (A′∪B)∩(A∪B)(A' \cup B) \cap (A \cup B) haline getirdikten sonra, her iki tarafta ortak olan BB kümesini dışarı alarak (dağılma özelliğinin tersi) sadeleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla (A∪B)′∪(A∩B)(A \cup B)' \cup (A \cap B) ifadesinin sadeleştirilmesi üzerine çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek de çözülebilir. A∖BA \setminus B sadece A'da olan kısımdır. Bunun tümleyeni (dışı), bu kısım hariç her yerdir. Bu alan ile A∪BA \cup B (iki kümenin tamamı) kesiştirildiğinde geriye sadece BB kümesinin kaldığı görülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru