Examkin

Soru

Zorluk: ZorOlasılık Kavramları ve Fonksiyonu
A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} ve B={−1,0,1}B = \{-1, 0, 1\} kümeleri veriliyor. AA kümesinden BB kümesine tanımlanabilecek tüm fonksiyonlar arasından rastgele seçilen bir ff fonksiyonunun, f(1)+f(2)+f(3)=0f(1) + f(2) + f(3) = 0 eşitliğini sağlama olasılığı kaçtır?
  1. A
    227\frac{2}{27}
  2. B
    527\frac{5}{27}
  3. C
    29\frac{2}{9}
  4. 727\frac{7}{27}Cevap
  5. E
    13\frac{1}{3}

Cevap

Rastgele seçilen fonksiyonun şartı sağlama olasılığı \frac{7}{27}'dir.
Doğru cevap, örnek uzayın büyüklüğü olan 33=273^3=27 ile istenen durumların sayısı olan 7'nin oranlanmasıyla bulunur. İstenen durumlar, görüntülerin hepsinin 0 olduğu 1 durum ve görüntülerin {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} olduğu 6 farklı sıralama durumunun toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayın (tüm olası fonksiyonların) sayısını hesapla.
s(E)=s(B)s(A)=33=27s(E) = s(B)^{s(A)} = 3^3 = 27 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
Her bir tanım kümesi elemanı (1,2,31, 2, 3) için değer kümesinden (33 seçenek) biri seçilir.
2
İstenen koşulu (f(1)+f(2)+f(3)=0f(1) + f(2) + f(3) = 0) sağlayan değer gruarını belirle.
Toplamı 0 olan üçlü değer grupları: {0,0,0}\{0, 0, 0\} ve {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} gruplarıdır.
Değer kümesi {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} elemanlarından oluştuğu için toplamı 0 yapan başka bir üçlü kombinasyon yoktur.
3
Belirlenen grupların kendi içindeki sıralanış (permütasyon) sayılarını bularak toplam istenen durum sayısını hesapla.
Durum 1 (0,0,0): Tekrarlı permütasyon 3!3!=1\frac{3!}{3!} = 1 durum. Durum 2 (-1,0,1): Farklı elemanlar 3!=63! = 6 durum. Toplam istenen durum 1+6=71 + 6 = 7.
Fonksiyonlarda sıralama önemlidir; f(1)=-1 ile f(1)=0 farklı fonksiyonlar belirtir.
4
İstenen durum sayısını örnek uzay sayısına oranla.
Olasılık = I˙stenen DurumTu¨m Durumlar=727\frac{\text{İstenen Durum}}{\text{Tüm Durumlar}} = \frac{7}{27}
Olasılık fonksiyonunun tanımı gereği.

Anahtar Kavram

Örnek Uzay ve Olasılık Hesabı

İpuçları

1
Önce AA'dan BB'ye tanımlanabilecek toplam fonksiyon sayısını (s(B)s(A)s(B)^{s(A)}) hesaplayın.
2
Görüntü kümesi elemanları {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} arasından seçilecektir. Üç sayının toplamının 0 olması için hangi sayı grupları seçilebilir? (Örn: Hepsi 0 olabilir mi?)
3
Toplamı 0 yapan iki temel grup vardır: {0,0,0}\{0, 0, 0\} ve {−1,0,1}\{-1, 0, 1\}. Bu grufların kendi içindeki yer değiştirme sayılarını (permütasyonlarını) toplamayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'Birebir olma olasılığı' veya 'Örten olma olasılığı' şartlarıyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Polinom açılımı yöntemi: (x−1+x0+x1)3(x^{-1} + x^0 + x^1)^3 ifadesinin açılımındaki x0x^0'lı terimin katsayısı, toplamı 0 olan durumların sayısını verir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık Kavramları ve Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru