Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÇember ve Daire

Yarıçap uzunluğu r=4r = 4 cm olan üç adet eş daire, birbirlerine dıştan teğet olacak şekilde düz bir zemin üzerine yerleştiriliyor. Bu daireleri dıştan çevreleyen gergin bir ipin sınırladığı tüm kapalı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. 16(π+6+3)16(\pi + 6 + \sqrt{3})Cevap
  2. B
    16(π+3)16(\pi + \sqrt{3})
  3. C
    16(2π+6)16(2\pi + 6)
  4. D
    16(π+33+6)16(\pi + 3\sqrt{3} + 6)
  5. E
    8(2π+12+3)8(2\pi + 12 + \sqrt{3})

Cevap

İpin sınırladığı alan 16(π+6+3)16(\pi + 6 + \sqrt{3}) cm2\text{cm}^2 olarak bulunur.
İpin sınırladığı bölge, merkezleri birleştiren bir eşkenar üçgen, kenarlar üzerindeki üç dikdörtgen ve köşelerdeki üç daire diliminin toplamından oluşur. Bu parçaların alanları sırasıyla 16316\sqrt{3}, 9696 ve 16π16\pi'dir. Toplamı paranteze alındığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Şekli geometrik parçalara ayırın.
Kapalı bölge; 3 adet 120°'lik daire dilimi (toplam 1 tam daire), 3 adet dikdörtgen ve ortada kalan 1 adet eşkenar üçgenden oluşur.
Merkezleri birleştiren doğrular ve teğet noktalarına çizilen dikmeler şekli analiz etmeyi sağlar.
2
Ortadaki eşkenar üçgenin alanını hesaplayın.
Kenar uzunluğu a=2r=8a = 2r = 8 cm. Alan = a234=6434=163\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Üç daire birbirine teğet olduğunda merkezleri bir eşkenar üçgen oluşturur.
3
Dikdörtgenlerin alanlarını hesaplayın.
Her dikdörtgenin kısa kenarı r=4r=4, uzun kenarı 2r=82r=8. Alan = 3×(4×8)=3×32=963 \times (4 \times 8) = 3 \times 32 = 96 cm2\text{cm}^2.
Teğet noktaları arasındaki düz kısımlar dikdörtgen oluşturur.
4
Daire dilimlerinin alanını hesaplayın.
Köşelerdeki açıların her biri 360°−(90°+90°+60°)=120°360° - (90°+90°+60°) = 120°. 3 adet 120°'lik dilim tam bir daire eder: πr2=16π\pi r^2 = 16\pi cm2\text{cm}^2.
Dışta kalan kavisli kısımlar birleştiğinde yarıçapı r olan tam bir daire oluşturur.
5
Tüm alanları toplayın.
16π+96+163=16(π+6+3)16\pi + 96 + 16\sqrt{3} = 16(\pi + 6 + \sqrt{3}) cm2\text{cm}^2.
Toplam alan parçaların alanları toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Bileşik Şekillerin Alanı
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru