Bir E = \{e_1, e_2, e_3, e_4\} örnek uzayı üzerinde tanımlı bir P olasılık fonksiyonu için… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir $E = \{e_1, e_2, e_3, e_4\}$ örnek uzayı üzerinde tanımlı bir $P$ olasılık fonksiyonu için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $P(\{e_1, e_2\}) = 3 \cdot P(\{e_3\})$
* $P(\{e_3, e_4\}) = 4 \cdot P(\{e_1\})$
* $P(\{e_2, e_3\}) = \frac{1}{2}$

Buna göre, $P(\{e_1\})$ değeri kaçtır?

Verilen olasılık fonksiyonu aksiyomları ve denklem sistemi çözüldüğünde

P(\{e_1\}) = \frac{5}{38}

olarak bulunur.

Verilen denklemler

P(e_1) + P(e_2) + P(e_3) + P(e_4) = 1

temel kuralı ile birleştirildiğinde dört bilinmeyenli bir sistem oluşur. Bu sistemde

P(e_2), P(e_3)

P(e_4)

değerleri

P(e_1)

cinsinden ifade edilip yerine yazıldığında

19 \cdot P(e_1) = 2,5

eşitliği elde edilir. Buradan

P(e_1) = 5/38

sonucuna ulaşılır.

Örnek uzay aksiyomunu yazın.

P(e_1) + P(e_2) + P(e_3) + P(e_4) = 1

Bir örnek uzaydaki tüm ayrık basit olayların olasılıkları toplamı 1'e eşittir.

Verilen ilişkileri kullanarak değişken sayısını azaltın.

P(e_1) + P(e_2) = 3P(e_3)

ise

3P(e_3) + P(e_3) + P(e_4) = 1 \Rightarrow 4P(e_3) + P(e_4) = 1

P(e_3) + P(e_4) = 4P(e_1)

ise

P(e_1) + P(e_2) + 4P(e_1) = 1 \Rightarrow 5P(e_1) + P(e_2) = 1

Verilen alt küme olasılıklarını ana toplam denklemine yerleştirerek sadeleştirme yapılır.

Tüm olasılıkları

P(e_1)

cinsinden ifade edin.

P(e_2) = 1 - 5P(e_1)

P(e_3) = \frac{1}{2} - P(e_2) = \frac{1}{2} - (1 - 5P(e_1)) = 5P(e_1) - \frac{1}{2}

P(e_4) = 4P(e_1) - P(e_3) = 4P(e_1) - (5P(e_1) - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - P(e_1)

Tek bilinmeyenli bir denklem elde etmek için tüm terimler aynı değişken türünden yazılır.

Elde edilen ifadeleri

4P(e_3) + P(e_4) = 1

denkleminde yerine koyarak çözün.

4(5P(e_1) - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - P(e_1)) = 1

20P(e_1) - 2 + \frac{1}{2} - P(e_1) = 1

19P(e_1) - \frac{3}{2} = 1 \Rightarrow 19P(e_1) = \frac{5}{2} \Rightarrow P(e_1) = \frac{5}{38}

Lineer denklem çözülerek hedef olasılık değeri bulunur.

Olasılık fonksiyonu, bir örnek uzaydaki olayları [0, 1] aralığına eşleyen ve örnek uzayın tamamının olasılığını 1 kabul eden bir fonksiyondur.

Örnek uzayı oluşturan tüm ayrık basit olayların olasılıkları toplamının 1 olması gerektiğini unutmayın.

P(e_1) + P(e_2) = 3P(e_3)

bilgisini kullanarak örnek uzay toplamını

4P(e_3) + P(e_4) = 1

şeklinde sadeleştirebilirsiniz.

Tüm bilinmeyenleri (

P(e_2), P(e_3), P(e_4)

) sadece

P(e_1)

cinsinden yazmaya çalışın ve son denkleme yerleştirin.

Benzer bir soruyu, olayların birbirinin tümleyeni olduğu durumlar için çözerek pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru