Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇember ve Daire

OO merkezli ve yarıçapı 66 cm olan bir çembere, çemberin dışındaki bir PP noktasından [PA][PA] ve [PB][PB] teğetleri çiziliyor. ∣PA∣=63|PA| = 6\sqrt{3} cm olduğuna göre; [PA][PA], [PB][PB] doğru parçaları ve çemberin ABAB küçük yayı arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2’dir?

  1. 363−12π36\sqrt{3} - 12\piCevap
  2. B
    183−12π18\sqrt{3} - 12\pi
  3. C
    363−6π36\sqrt{3} - 6\pi
  4. D
    363−18π36\sqrt{3} - 18\pi
  5. E
    183−6π18\sqrt{3} - 6\pi

Cevap

363−12π36\sqrt{3} - 12\pi
Çember dışındaki bir noktadan çizilen teğetler yarıçapa diktir. OAPOAP dik üçgeninde 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ bağıntısı kullanılarak merkez açının 120∘120^\circ olduğu bulunur. Dörtgenin alanından (36336\sqrt{3}) bu merkez açıya sahip daire diliminin alanı (12π12\pi) çıkarıldığında istenen bölge elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet özelliklerini belirleme
OA⊥APOA \perp AP ve OB⊥BPOB \perp BP
Çemberin teğet noktasına çizilen yarıçaplar teğet doğrusuna diktir.
2
OAPOAP dik üçgeninde açıları bulma
tan⁡(∠APO)=663=13⇒∠APO=30∘,∠AOP=60∘\tan(\angle APO) = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \angle APO = 30^\circ, \angle AOP = 60^\circ
Dik üçgende karşı kenarın komşu kenara oranı tanjant değerini verir.
3
Dörtgenin merkez açısını ve toplam alanını hesaplama
∠AOB=120∘\angle AOB = 120^\circ, Alan(OAPB)=2×(12×6×63)=363\text{Alan}(OAPB) = 2 \times (\frac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{3}) = 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2
Simetri nedeniyle OAPBOAPB dörtgeni iki eş dik üçgenden oluşur.
4
Daire diliminin alanını hesaplama
Alan(Dilim)=π×62×120360=12π\text{Alan(Dilim)} = \pi \times 6^2 \times \frac{120}{360} = 12\pi cm2\text{cm}^2
120∘120^\circ’lik merkez açıya sahip daire diliminin alanı πr2α360\pi r^2 \frac{\alpha}{360} formülüyle bulunur.
5
Taralı alanı bulma
363−12π36\sqrt{3} - 12\pi
Sınırlı bölgenin alanı, dıştaki dörtgenin alanından içteki daire diliminin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Teğet-yarıçap dikliği ve daire dilimi alanı
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru