Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

AA ve BB, EE evrensel kümesinin alt kümeleridir.

K=(A∪B)∖(A∩B) K = (A \cup B) \setminus (A \cap B)

eşitliği ile KK kümesi tanımlanıyor.

Buna göre, K∖AK \setminus A ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    A \setminus B
  2. B \setminus ACevap
  3. C
    A \cap B
  4. D
    \emptyset
  5. E
    A \cup B

Cevap

İstenen ifade, BB kümesinde olup AA kümesinde olmayan elemanlar kümesine, yani B∖AB \setminus A'ya eşittir.
Verilen KK kümesi, AA ve BB kümelerinin birleşiminden kesişimlerinin çıkarılmasıyla elde edilmiştir; bu da 'Sadece A'da olanlar' ile 'Sadece B'de olanlar'ın toplamıdır ((A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A)). Bu kümeden AA kümesini çıkardığımızda, 'Sadece A'da olanlar' kısmı silinir. Geriye yalnızca 'Sadece B'de olanlar', yani B∖AB \setminus A kalır.

Adım Adım Çözüm

1
KK kümesini, fark ve birleşim işlemleri cinsinden daha açık bir şekilde ifade edelim.
K=(A∪B)∖(A∩B)K = (A \cup B) \setminus (A \cap B) ifadesi, AA ve BB kümelerinin simetrik farkını belirtir. Bu, (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) kümesine eşittir.
Birleşim kümesinden kesişim kümesinin çıkarılması, sadece AA'da olanlar ile sadece BB'de olanların birleşimini verir.
2
Elde edilen KK ifadesinden AA kümesini çıkarma işlemini (K∖AK \setminus A) uygulayalım.
[(A∖B)∪(B∖A)]∖A[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)] \setminus A
Soruda istenen işlem KK kümesinden AA kümesinin elemanlarının atılmasıdır.
3
Kümelerin birleşimi üzerinden fark işlemini dağıtarak veya bölge mantığıyla sonucu bulalım.
(A∖B)(A \setminus B) kümesi tamamen AA'nın içindedir, bu yüzden AA çıkarılınca bu kısım yok olur (∅\emptyset). (B∖A)(B \setminus A) kümesi ise AA'dan tamamen ayrıdır, bu yüzden AA çıkarılınca etkilenmez. Sonuç: ∅∪(B∖A)=B∖A\emptyset \cup (B \setminus A) = B \setminus A.
Bir kümeden kendisini kapsayan veya ortak elemanı olmayan kümelerin çıkarılması mantığına dayanır.

Anahtar Kavram

Simetrik Fark ve Fark İşlemi Özellikleri

İpuçları

1
(A∪B)∖(A∩B)(A \cup B) \setminus (A \cap B) ifadesini Venn şeması üzerinde düşünün: İki kümenin birleşiminden ortadaki kesişim bölgesini atarsanız geriye hangi bölgeler kalır?
2
Bu ifade (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) kümesine eşittir. Yani sadece A'da veya sadece B'de olan elemanlardır.
3
Elinizdeki bu kümeden, AA kümesinin içinde olan her şeyi atmanız isteniyor. (A∖B)(A \setminus B) bölgesi AA'nın içinde midir? Peki (B∖A)(B \setminus A) bölgesi AA'nın içinde midir?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, [(A∖B)∪(B∖A)]∩B[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)] \cap B ifadesinin sonucunu inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru