Bir ABC üçgeninde [DE] \parallel [BC]'dir. D noktası [AB] kenarı üzerinde, E noktası ise [… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir $ABC$ üçgeninde $[DE] \parallel [BC]$ 'dir. $D$ noktası $[AB]$ kenarı üzerinde, $E$ noktası ise $[AC]$ kenarı üzerindedir. $|AD| = 6 \text{ cm}$ ve $|DB| = 3 \text{ cm}$ olarak verilmiştir. $ABC$ üçgeninin alanı $108 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $ADE$ üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

A
36
48Cevap
C
54
D
72
E
12

Cevap

Küçük üçgenin alanı

48 \text{ cm}^2

olarak hesaplanır.

Verilen

[DE] \parallel [BC]

bilgisi sayesinde

ADE

ABC

üçgenlerinin benzer olduğu anlaşılır. Benzerlik oranı

|AD|/|AB| = 6/9 = 2/3

olarak bulunur. Geometride temel bir kural olarak, benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir; bu durumda oran

(2/3)^2 = 4/9

olur. Toplam alan olan 108 ile bu oran çarpıldığında sonuç 48 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Üçgenler arasındaki benzerlik oranını (

k

) belirleyin.

k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{6}{6+3} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

[DE] \parallel [BC]

olduğu için

ADE

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir.

Alanlar oranını hesaplayın.

Alanlar Oranı

= k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}

Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

ABC

üçgeninin alanını kullanarak

ADE

üçgeninin alanını bulun.

\frac{\text{Alan}(ADE)}{108} = \frac{4}{9} \Rightarrow \text{Alan}(ADE) = 108 \times \frac{4}{9} = 48 \text{ cm}^2

Orantı yoluyla bilinmeyen alan değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üçgenlerde benzerlik oranı

k

ise, alanlar oranı

k^2

olur.

İpuçları

Öncelikle

|AD|

uzunluğunu, üçgenin tüm kenarı olan

|AB|

uzunluğuna oranlayarak benzerlik oranını bulun.

Alanlar arasındaki ilişkinin benzerlik oranının karesi (

k^2

) olduğunu hatırlayın.

|AB| = 9 \text{ cm}

olduğu için oran

6/9 = 2/3

'tür. Bu oranın karesi olan

4/9

'u kullanarak alanı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının çevreler oranıyla olan ilişkisini inceleyerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Konular

Bu konudan daha fazla soru