E evrensel kümesinin boş olmayan A ve B alt kümeleri veriliyor. Buna göre, \left[ (A \cup … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$E$ evrensel kümesinin boş olmayan $A$ ve $B$ alt kümeleri veriliyor.

Buna göre,

\left[ (A \cup B')' \cup (A \cap B) \right]'

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

$B'$ Cevap
B
$B$
C
$A$
D
$A'$
E
$\emptyset$

Cevap

Verilen ifade sadeleştirildiğinde

B'

(B kümesinin tümleyeni) sonucuna ulaşılır.

İfadenin çözümü mantıksal işlem sırasına göre yapıldığında, iç kısımdaki terimler

B

kümesine indirgenir. En dıştaki tümleme işareti nedeniyle sonuç

B

kümesinin tümleyeni (

B'

) olur.

Adım Adım Çözüm

İlk parantez içindeki

(A \cup B')'

ifadesine De Morgan kuralını uygula.

(A' \cap (B')') = A' \cap B

De Morgan kuralı gereği

(X \cup Y)' = X' \cap Y'

(X')' = X

tir.

Elde edilen ifadeyi yerine yaz ve köşeli parantez içindeki birleşim işlemini düzenle.

(A' \cap B) \cup (A \cap B)

İfade ortak çarpan parantezine alınabilir.

B

kümesi ortak olduğu için dağılma özelliğini tersine kullan (B parantezine al).

B \cap (A' \cup A)

Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği:

(X \cap Y) \cup (Z \cap Y) = (X \cup Z) \cap Y

A' \cup A

ifadesinin evrensel kümeye (

E

) eşit olduğunu kullan.

B \cap E = B

Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi verir; evrensel küme ile kesişim kümenin kendisidir.

Son olarak, en dıştaki tümleme işlemini uygula.

B'

Köşeli parantezin içi

B

olarak bulundu, dışındaki

'

işareti tümleyeni ifade eder.

Anahtar Kavram

De Morgan Kuralları ve Dağılma Özelliği

İpuçları

Önce en içteki parantez olan

(A \cup B')'

ifadesini De Morgan kuralını kullanarak açın.

Elde ettiğiniz ifadede

(A' \cap B)

(A \cap B)

terimlerini göreceksiniz. Her iki terimde de ortak olan küme hangisidir?

İfadeyi

B

parantezine aldığınızda

(A' \cup A)

oluşur. Bu birleşim evrensel kümeye eşittir. Sonucu bulduktan sonra en dıştaki tümleme işaretini unutmayın.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek de çözülebilir: İki kesişen küme çizin.

A \cup B'

bölgesi, 'sadece B' bölgesi dışındaki her yerdir. Bunun tümleyeni

(A \cup B')'

ise 'sadece B' bölgesidir (

B \setminus A

A \cap B

ise kesişim bölgesidir. Bu ikisinin birleşimi ('sadece B' ve 'kesişim') B kümesinin tamamını verir. B'nin tümleyeni ise

B'

olur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru