Examkin

Soru

Zorluk: ZorKoşullu Olasılık

Bir kamu kurumu bünyesindeki tüm birimler, personel sayılarına göre A, B ve C olmak üzere üç farklı kategoriye ayrılmıştır. Kurumdaki birimlerin dağılımı ve bu birimlerin yıllık denetimlerden başarıyla geçme oranları aşağıdaki gibidir:

* A kategorisi: Tüm birimlerin %40'ını oluşturur ve denetimden geçme oranı %80'dir.
* B kategorisi: Tüm birimlerin %35'ini oluşturur ve denetimden geçme oranı %60'tır.
* C kategorisi: Tüm birimlerin %25'ini oluşturur ve denetimden geçme oranı %40'tır.

Yapılan denetimler sonucunda bir birimin denetimden geçemediği (başarısız olduğu) bilinmektedir.

Buna göre, bu birimin C kategorisinde olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    837\frac{8}{37}
  2. B
    1437\frac{14}{37}
  3. 1537\frac{15}{37}Cevap
  4. D
    320\frac{3}{20}
  5. E
    37100\frac{37}{100}

Cevap

Seçilen birimin C kategorisinde olma olasılığı 1537\frac{15}{37}'dir.
Soruda bir ön koşul (birimin denetimden geçemediği) verildiği için bu bir koşullu olasılık problemidir. Öncelikle tüm birimler içinde denetimden geçemeyenlerin toplam oranı bulunur: A'dan gelen başarısızlar (0,40×0,20=0,080,40 \times 0,20 = 0,08), B'den gelen başarısızlar (0,35×0,40=0,140,35 \times 0,40 = 0,14) ve C'den gelen başarısızlar (0,25×0,60=0,150,25 \times 0,60 = 0,15). Toplam başarısızlık olasılığı 0,08+0,14+0,15=0,370,08 + 0,14 + 0,15 = 0,37'dir. İstenen durum, bu başarısızlığın C grubundan kaynaklanmasıdır (0,150,15). Sonuç, istenen durumun toplam duruma oranıdır: 0,150,37=1537\frac{0,15}{0,37} = \frac{15}{37}.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen yüzdeleri ondalık sayıya veya kesre çevirerek olayları tanımla.
Olasılıklar: P(A)=0,40P(A)=0,40, P(B)=0,35P(B)=0,35, P(C)=0,25P(C)=0,25. Başarı oranları verildiği için 'Başarısızlık' (Geçememe) oranlarını bul: P(K′∣A)=1−0,80=0,20P(K'|A) = 1 - 0,80 = 0,20; P(K′∣B)=1−0,60=0,40P(K'|B) = 1 - 0,60 = 0,40; P(K′∣C)=1−0,40=0,60P(K'|C) = 1 - 0,40 = 0,60.
Soruda 'denetimden geçemediği' bilindiğine göre, ilgilenilen olay başarısızlık durumudur.
2
Her bir kategori için 'kategoriye ait olma VE başarısız olma' olasılıklarını (kesişim) hesapla.
A ve Başarısız: 0,40×0,20=0,080,40 \times 0,20 = 0,08
B ve Başarısız: 0,35×0,40=0,140,35 \times 0,40 = 0,14
C ve Başarısız: 0,25×0,60=0,150,25 \times 0,60 = 0,15
Bayes teoreminin pay ve paydasını oluşturmak için her yolun olasılığına ihtiyaç vardır.
3
Toplam başarısızlık olasılığını (Örnek Uzay) bulmak için hesaplanan değerleri topla.
Toplam Başarısızlık = 0,08+0,14+0,15=0,370,08 + 0,14 + 0,15 = 0,37
Koşullu olasılıkta payda, koşulun gerçekleşme olasılığıdır (burada denetimden geçememe durumu).
4
İstenen durumu (C kategorisi ve başarısız) toplam duruma bölerek koşullu olasılığı hesapla.
P(C∩K′)P(K′)=0,150,37=1537\frac{P(C \cap K')}{P(K')} = \frac{0,15}{0,37} = \frac{15}{37}
Koşullu olasılık formülü: P(C∣K′)=P(C∩K′)P(K′)P(C | K') = \frac{P(C \cap K')}{P(K')}.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık (Bayes Teoremi Uygulaması)

İpuçları

1
Soruda 'denetimden geçemediği bilindiğine göre' ifadesi, hesaplamanızda örnek uzayı (paydayı) tüm birimler yerine sadece başarısız birimlerle sınırlamanız gerektiğini gösterir.
2
Önce her kategori (A, B, C) için 'o kategoride olma VE başarısız olma' olasılıklarını ayrı ayrı hesaplayın. Başarısızlık oranlarını bulmak için başarı oranlarını 1'den çıkarmayı unutmayın (Örn: A için %100 - %80 = %20).
3
Payda = (A'nın başarısızlık payı) + (B'nin başarısızlık payı) + (C'nin başarısızlık payı). Pay = Sadece C'nin başarısızlık payı. Oran = Pay / Payda.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'başarılı olduğu bilinen bir birimin A kategorisinden olma olasılığı'nı hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Olasılık

Bu konudan daha fazla soru