Examkin

Alt Küme

29 soru

Soru 21Soru →

Bir kümenin eleman sayısı 2 artırıldığında, alt küme sayısı 96 artmaktadır.

Buna göre, bu kümenin en çok 2 elemanlı kaç farklı alt kümesi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Kümenin en çok 2 elemanlı alt küme sayısı 16'dır.
Soruda verilen bilgiye göre kümenin eleman sayısını bulup, ardından kombinasyon hesabı yapmamız gerekir. 2n+2−2n=962^{n+2} - 2^n = 96 denkleminden kümenin eleman sayısının n=5n=5 olduğu bulunur. 'En çok 2 elemanlı' ifadesi, eleman sayısı 0, 1 veya 2 olan alt kümelerin toplamını belirtir. Bu hesaplama (50)+(51)+(52)\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} işlemiyle 16 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin başlangıçtaki eleman sayısına nn diyelim. Eleman sayısı 2 artırıldığında yeni eleman sayısı n+2n+2 olur.
Başlangıç alt küme sayısı 2n2^n, yeni alt küme sayısı 2n+22^{n+2}.
Alt küme sayısı formülünün (2n2^n) tanımlanması.
2
Verilen artış miktarını kullanarak denklemi kuralım: 2n+2−2n=962^{n+2} - 2^n = 96.
2n(22−1)=96⇒2n⋅3=962^n(2^2 - 1) = 96 \Rightarrow 2^n \cdot 3 = 96.
Üslü ifadelerde ortak çarpan parantezine alma işlemi.
3
Denklemi çözerek nn değerini bulalım.
2n=32⇒n=52^n = 32 \Rightarrow n = 5.
Kümenin eleman sayısının tespiti.
4
n=5n=5 elemanlı bir kümenin 'en çok 2 elemanlı' alt kümelerini hesaplayalım (0, 1 veya 2 elemanlı).
(50)+(51)+(52)=1+5+10=16\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} = 1 + 5 + 10 = 16.
Kombinasyon formülü ile istenen alt küme sayılarının toplanması.

Anahtar Kavram

Alt Küme Sayısı Değişimi ve Kombinasyon

İpuçları

1
Önce kümenin eleman sayısını (nn) bulmalısınız. Alt küme sayısı formülünü (2n2^n) kullanarak, eleman sayısı 2 arttığında oluşan fark denklemini kurun.
2
2n+2−2n=962^{n+2} - 2^n = 96 denklemini çözmek için 2n2^n parantezine alın.
3
n=5n=5 bulduktan sonra, 'en çok 2 elemanlı' alt kümeler için (50)\binom{5}{0}, (51)\binom{5}{1} ve (52)\binom{5}{2} değerlerini toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla 'en az 3 elemanlı alt küme sayısı' sorularını çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pascal üçgeninin 5. satırını (1, 5, 10, 10, 5, 1) yazarak ilk üç terimi toplayabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 22Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} kümesi veriliyor. Bu kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, kümedeki en küçük eleman ile en büyük elemanın toplamı 9 olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Koşulu sağlayan toplam 22 farklı alt küme vardır.
4 elemanlı bir kümenin en küçük ve en büyük elemanlarının toplamı sabitlendiğinde, diğer 2 eleman bu iki değer arasında olmak zorundadır. (1,8) için arada 6 sayı, (2,7) için 4 sayı, (3,6) için 2 sayı vardır. Bu aralıklardan 2'şer eleman seçilerek tüm olasılıklar toplanır: (62)+(42)+(22)=15+6+1=22\binom{6}{2} + \binom{4}{2} + \binom{2}{2} = 15 + 6 + 1 = 22.

Adım Adım Çözüm

1
Alt küme özelliklerini ve kısıtlamaları belirle
Alt küme KK olsun. s(K)=4s(K)=4 ve min⁡(K)+max⁡(K)=9\min(K) + \max(K) = 9.
Soruda istenen şartları matematiksel ifadeye dökmek gerekir.
2
Toplamı 9 olan olası (min, max) çiftlerini listele
Olası çiftler: (1,8),(2,7),(3,6),(4,5)(1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5).
Küme elemanları 11 ile 88 arasındadır. Bu aralıkta toplamı 9 eden uç noktalar belirlenmelidir.
3
Her çift için aradaki elemanlardan 2 tane seçim yap (toplam 4 eleman olması için)
Durum 1: (1,8)→(1, 8) \rightarrow Arada {2,3,4,5,6,7}\{2,3,4,5,6,7\} var (6 eleman). (62)=15\binom{6}{2} = 15 küme.
Durum 2: (2,7)→(2, 7) \rightarrow Arada {3,4,5,6}\{3,4,5,6\} var (4 eleman). (42)=6\binom{4}{2} = 6 küme.
Durum 3: (3,6)→(3, 6) \rightarrow Arada {4,5}\{4,5\} var (2 eleman). (22)=1\binom{2}{2} = 1 küme.
Durum 4: (4,5)→(4, 5) \rightarrow Arada eleman yok. 2 eleman seçilemez. 0 küme.
En küçük ve en büyük eleman seçildikten sonra, kalan 2 eleman bu iki değerin ARASINDAN seçilmelidir. Aksi takdirde min/max değerleri değişir.
4
Tüm durumları topla
15+6+1=2215 + 6 + 1 = 22.
Ayrık durumların toplam sayısı cevabı verir.

Anahtar Kavram

Bu soru, alt küme tanımını, min-max kavramlarını ve kombinasyon hesabını (seçme) birleştirerek test etmektedir.

İpuçları

1
Önce, toplamları 9 olan ve kümede bulunan en küçük ve en büyük sayı çiftlerini (x, y) belirleyin.
2
Bir alt kümenin en küçüğü x, en büyüğü y ise, diğer elemanlar x ile y arasında olmalıdır.
3
Olası çiftler (1,8), (2,7), (3,6)'dır. Her çift için aradaki sayılardan kaç farklı şekilde 2 sayı daha seçebileceğinizi hesaplayıp toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla: 'Elemanları çarpımı negatif olan 3 elemanlı kaç alt küme vardır?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm 4 elemanlı alt kümeleri yazmak yerine, sistematik olarak en küçük elemanı 1, 2, 3... olanları gruplandırarak da gidilebilir, ancak kombinasyon yöntemi daha hızlıdır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 23Soru →

A={−3,−1,0,2,4}A = \{-3, -1, 0, 2, 4\} kümesi veriliyor. Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir negatif tam sayı ve en az bir pozitif tam sayı bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18
Soruda istenen 'en az bir negatif ve en az bir pozitif' tam sayı bulundurma koşuludur. Bu tip sorularda 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemi en pratik yoldur. İstenmeyen durumlar: 'Hiç negatif sayı içermeyenler' veya 'Hiç pozitif sayı içermeyenler'dir. Tüm alt küme sayısı 25=322^5 = 32'dir. Hiç negatif içermeyenler (sadece {0,2,4}\{0, 2, 4\} ile oluşanlar) 8 tanedir. Hiç pozitif içermeyenler (sadece {−3,−1,0}\{-3, -1, 0\} ile oluşanlar) 8 tanedir. Ancak bu iki grupta ortak olanlar (sadece {0}\{0\} elemanını içerenler ve boş küme) iki kez sayılmıştır. Kesişim kümesi {0}\{0\}'dır ve 21=22^1=2 alt kümesi vardır. İstenmeyen toplam durum: 8+8−2=148 + 8 - 2 = 14. Sonuç: 32−14=1832 - 14 = 18.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin elemanlarını özelliklerine göre gruplandır.
Negatifler: {−3,−1}\{-3, -1\} (2 eleman), Pozitifler: {2,4}\{2, 4\} (2 eleman), Nötr: {0}\{0\} (1 eleman). Toplam 5 eleman.
Soruda negatif ve pozitif olma durumu şart koşulduğu için elemanları bu gruplara ayırmak gerekir.
2
Tüm alt küme sayısını hesapla.
25=322^5 = 32 tane tüm alt küme vardır.
nn elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.
3
İstenmeyen durumları belirle ve sayılarını hesapla.
Durum 1 (Hiç negatif yok): {0,2,4}\{0, 2, 4\} kümesinin alt kümeleri (23=82^3=8). Durum 2 (Hiç pozitif yok): {−3,−1,0}\{-3, -1, 0\} kümesinin alt kümeleri (23=82^3=8).
'En az bir negatif ve en az bir pozitif' koşulunun tersi; 'hiç negatif yok' VEYA 'hiç pozitif yok' durumudur.
4
Kesişim kümesini belirle (hem negatif hem pozitif olmayanlar).
Hem negatif hem pozitif olmayan eleman sadece {0}\{0\}'dır. Bunun alt kümeleri (21=22^1=2).
Ayrık olmayan kümeler prensibi (Inclusion-Exclusion) gereği, iki kez çıkarılan kesişim kümesi (sadece 0 ve boş küme) hesaplanmalıdır.
5
Tüm durumlardan istenmeyen durumların birleşimini çıkar.
İstenmeyenler = 8+8−2=148 + 8 - 2 = 14. İstenen = 32−14=1832 - 14 = 18.
Tüm Durumlar - (Negatif Olmayan ∪\cup Pozitif Olmayan) = İstenen Durum.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Alt Küme Hesabı (En az bir...)

İpuçları

1
Doğrudan istenen alt kümeleri saymak yerine, tüm alt kümelerden istenmeyenleri çıkarmayı deneyin.
2
İstenmeyen durumlar iki gruptur: 1) İçinde hiç negatif sayı olmayanlar. 2) İçinde hiç pozitif sayı olmayanlar.
3
Negatif olmayanların sayısı 8, pozitif olmayanların sayısı 8'dir. Ancak dikkat edin, {0} kümesi ve boş küme her iki grupta da vardır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için 'En az bir asal sayı ve en az bir çift sayı içeren alt küme sayısı' sorusu çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 24Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan bir memur, masasındaki birbirinden farklı 55 rapor arasından incelemek üzere istediği sayıda raporu seçerek bir dosya oluşturacaktır. Memurun en az bir rapor seçmesi gerektiğine göre, bu dosya için kaç farklı rapor grubu oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

Memur, boş küme haricindeki tüm alt kümelerin sayısı olan 31 farklı rapor grubu oluşturabilir.
Verilen 5 raporun her biri için iki seçenek vardır: ya seçilir ya da seçilmez. Bu durum 2×2×2×2×2=25=322 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32 farklı alt küme oluşturur. Soruda 'en az bir' rapor seçilmesi istendiği için, bu 32 durumdan hiçbir raporun seçilmediği (boş küme) tek bir durum çıkarılır. Sonuç 32−1=3132 - 1 = 31 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin eleman sayısını belirle.
n=5n = 5
Masada 5 farklı rapor bulunduğu için seçimin yapılacağı küme 5 elemanlıdır.
2
Toplam alt küme sayısını hesapla.
25=322^5 = 32
nn elemanlı bir kümenin tüm seçimlerinin (alt kümelerinin) sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.
3
"En az bir" koşulunu değerlendir.
32−1=3132 - 1 = 31
"En az bir" ifadesi, hiçbir raporun seçilmediği durumu (boş kümeyi) dışarıda bırakmamız gerektiğini belirtir.

Anahtar Kavram

Alt Küme Sayısı ve Boş Küme

İpuçları

1
Bir kümeden yapılabilecek tüm farklı gruplandırmalar, o kümenin alt kümelerini temsil eder.
2
5 elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısını 2n2^n formülünü kullanarak hesaplayın.
3
Toplam alt küme sayısından, 'hiç rapor seçmeme' (boş küme) durumunu çıkarmanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Eleman sayısı 1 artırıldığında alt küme sayısının nasıl değiştiğini inceleyerek 2n2^n ilişkisini pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 25Soru →

Alt küme sayısı 1616 olan bir kümenin eleman sayısı 22 artırıldığında, oluşan yeni kümenin alt küme sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Yeni kümenin alt küme sayısı 64'tür.
Doğru cevap 64 değeridir. Öncelikle kümenin ilk eleman sayısı bulunur: 2n=162^n = 16 eşitliğinden n=4n=4 olduğu görülür. Eleman sayısı 2 artırıldığında yeni eleman sayısı 4+2=64+2=6 olur. 6 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı ise 26=642^6 = 64 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durumdaki eleman sayısını (n) bul.
2^n = 16 olduğu için n = 4'tür.
Bir kümenin alt küme sayısı 2^n formülü ile hesaplanır.
2
Eleman sayısını 2 artırarak yeni eleman sayısını hesapla.
Yeni eleman sayısı = 4 + 2 = 6 olur.
Soruda eleman sayısının 2 artırıldığı belirtilmiştir.
3
Yeni eleman sayısı için alt küme sayısını hesapla.
2^6 = 64 bulunur.
Yeni kümenin alt küme formülünde n yerine 6 yazılır.

Anahtar Kavram

Alt Küme Sayısı Formülü (2^n)

İpuçları

1
Bir kümenin alt küme sayısını veren formülü (2n2^n) hatırlayın.
2
2n=162^n = 16 ise, bu kümenin kaç elemanı olduğunu bulun.
3
Bulduğunuz eleman sayısına 2 ekleyin ve formülü tekrar uygulayın (2n+22^{n+2}).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'özalt küme sayısı' üzerinden çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol: Eleman sayısı 2 arttığında, alt küme sayısı 22=42^2 = 4 katına çıkar. 16×4=6416 \times 4 = 64.
Tahmini Süre:45s
Soru 26Soru →

AA ve BB kümeleri için; AA kümesinin alt küme sayısı BB kümesinin alt küme sayısının 64 katıdır. Ayrıca AA kümesinin eleman sayısı, BB kümesinin eleman sayısının 3 katından 2 fazladır.

Buna göre, AA kümesinin öz alt küme sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 255

Cevap

Doğru cevap 255'tir.
Sorudaki ifadeler denkleme döküldüğünde; s(B)=ns(B)=n ise s(A)=3n+2s(A)=3n+2 olur. Alt küme sayısı ilişkisi 23n+2=64×2n2^{3n+2} = 64 \times 2^n şeklindedir. 64=2664 = 2^6 olduğundan, eşitlik 23n+2=2n+62^{3n+2} = 2^{n+6} haline gelir. Üsler eşitlendiğinde 3n+2=n+63n+2 = n+6 olur ve buradan n=2n=2 bulunur. AA kümesinin eleman sayısı s(A)=3(2)+2=8s(A)=3(2)+2=8'dir. Öz alt küme sayısı ise 28−1=2552^8 - 1 = 255 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin eleman sayılarını değişkenlerle ifade etme
s(B)=ns(B) = n olsun. Bu durumda s(A)=3n+2s(A) = 3n + 2 olur.
Soruda verilen '3 katından 2 fazla' ilişkisini matematiksel denkleme çevirmek için.
2
Alt küme sayıları arasındaki ilişkiyi kurma
2s(A)=64×2s(B)⇒23n+2=26×2n2^{s(A)} = 64 \times 2^{s(B)} \Rightarrow 2^{3n+2} = 2^6 \times 2^n
Alt küme sayısı formülü 2k2^k'dır. '64 katı' ifadesi çarpma işlemi gerektirir.
3
Üslü sayı denklemini çözme
23n+2=2n+6⇒3n+2=n+6⇒2n=4⇒n=22^{3n+2} = 2^{n+6} \Rightarrow 3n + 2 = n + 6 \Rightarrow 2n = 4 \Rightarrow n = 2
Üslü sayılarda tabanlar aynıysa (burada taban 2), üsler de eşit olmalıdır.
4
A kümesinin eleman sayısını ve öz alt küme sayısını hesaplama
s(A)=3(2)+2=8s(A) = 3(2) + 2 = 8. Öz alt küme sayısı = 28−1=256−1=2552^8 - 1 = 256 - 1 = 255.
Bulunan nn değerini yerine koyup öz alt küme formülünü (2k−12^k - 1) uygulamak için.

Anahtar Kavram

Alt küme sayısı ile eleman sayısı arasındaki üstel ilişki ve denklem kurma.

İpuçları

1
Bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur. 64 sayısını 2'nin kuvveti olarak yazmayı deneyin.
2
s(B)=xs(B) = x derseniz, s(A)=3x+2s(A) = 3x + 2 olur. Alt küme sayıları arasındaki ilişkiyi üslü denklem olarak yazın.
3
23x+2=26×2x2^{3x+2} = 2^6 \times 2^x eşitliğinden tabanlar aynı olduğu için üsleri eşitleyerek xx'i bulun.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 27Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin alt kümeleri arasından, içerisinde ardışık iki tam sayı bulunmayanlar bir SS sınıfı oluşturmaktadır.

Buna göre, SS sınıfına ait alt kümelerin kaç tanesinde en az bir asal sayı bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

İstenen şartları sağlayan 26 farklı alt küme vardır.
Soruda iki kısıtlama vardır: (1) Ardışık sayı içermeme, (2) En az bir asal sayı içerme.
Çözüm için 'Tüm Ardışık Olmayanlar' sayısından 'İçinde Asal Bulunmayan Ardışık Olmayanlar' sayısı çıkarılır.

1. Tüm Ardışık Olmayanlar: 7 elemanlı bir küme için bu sayı 34'tür (Fibonacci ilişkisi veya kombinasyon hesabı ile).
2. İstenmeyen Durum (Hiç Asal Yok): Kümedeki asal olmayanlar {1,4,6}\{1, 4, 6\}'dır. Bu sayıların hiçbiri ardışık olmadığı için, bu kümenin tüm alt kümeleri (8 adet) ardışık olmama kuralına uyar.
3. Sonuç: 34−8=2634 - 8 = 26.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi iki aşamaya ayır: Önce ardışık sayı içermeyen tüm alt kümelerin sayısını bul, sonra bunlardan hiç asal sayı içermeyenleri çıkar.
Strateji: Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar
'En az bir' ifadesi genellikle tümleyen mantığı ile (Tümü - Hiçbiri) daha kolay çözülür.
2
A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinde ardışık eleman içermeyen alt küme sayısını hesapla. Bu sayı Fn+2F_{n+2} Fibonacci sayısıdır veya eleman sayısına göre sayılabilir.
0 elemanlı: 1 (∅\emptyset)
1 elemanlı: 7
2 elemanlı: 15
3 elemanlı: 10
4 elemanlı: 1
Toplam: 1+7+15+10+1=341 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34.
Ardışık eleman içermeyen alt küme sayısı hesabı.
3
İstenmeyen durumu belirle: İçinde ardışık sayı bulunmayan VE hiç asal sayı bulunmayan alt kümeler.
Asal olmayan elemanlar kümesi K={1,4,6}K = \{1, 4, 6\}.
AA kümesindeki asallar {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\}, asal olmayanlar {1,4,6}\{1, 4, 6\}'dır.
4
K={1,4,6}K = \{1, 4, 6\} kümesinin alt kümelerinden ardışık eleman içermeyenleri say.
KK kümesinin hiçbir elemanı birbiriyle ardışık değildir (farkları 1 değildir). Bu nedenle KK'nın TÜM alt kümeleri şarta uyar. 23=82^3 = 8.
1, 4 ve 6 sayıları arasında ardışıklık ilişkisi yoktur, dolayısıyla ek bir elemeye gerek kalmaz.
5
Tüm geçerli durumlardan istenmeyen durumu çıkar.
34−8=2634 - 8 = 26.
Sonuç bulma.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Alt Küme Sayımı

İpuçları

1
'En az bir asal sayı bulunur' şartını doğrudan saymak yerine, tüm geçerli durumlardan hiç asal sayı bulunmayanları çıkarmayı deneyin.
2
Önce AA kümesinin, içinde ardışık sayı bulunmayan kaç alt kümesi olduğunu hesaplayın. (Bunu eleman sayılarına göre gruplayarak yapabilirsiniz: 0 elemanlı, 1 elemanlı, vb.)
3
Ardışık sayı içermeyen toplam alt küme sayısı 34'tür. Şimdi sadece asal olmayan {1,4,6}\{1, 4, 6\} elemanlarıyla oluşturulabilecek ardışık sayı içermeyen alt kümeleri bulup 34'ten çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için, ardışık sayı içermeyen alt kümelerin kaç tanesinde 'çift sayı bulunmaz' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Doğrudan Sayma Yöntemi: İçinde en az bir asal bulunan ardışık olmayan kümeleri; 1 asal içerenler, 2 asal içerenler vb. şeklinde gruplayarak da sayabilirsiniz, ancak bu yöntem çok daha fazla işlem gerektirir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 28Soru →

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 11 veya 22 elemanı bulunur, ancak 33 elemanı bulunmaz?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap 24'tür.
Soruda iki koşulun aynı anda sağlanması istenmektedir: (1) 3 elemanı bulunmayacak, (2) 1 veya 2 elemanlarından en az biri bulunacak. Öncelikle '3 bulunmaz' koşulu için 3'ü kümeden atarız; geriye {1,2,4,5,6}\{1, 2, 4, 5, 6\} olmak üzere 5 eleman kalır. Bu 5 elemanla yazılabilecek tüm alt kümelerin sayısı 25=322^5 = 32'dir. Bu 32 alt kümenin içinden, '1 veya 2 bulunur' koşulunu sağlamayanları (yani 1 ve 2'nin hiç bulunmadığı durumları) çıkarırız. 1 ve 2'yi de atarsak geriye {4,5,6}\{4, 5, 6\} kalır ve bunlarla 23=82^3 = 8 alt küme yazılabilir. Sonuç olarak, 32−8=2432 - 8 = 24 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
'3 elemanı bulunmaz' şartını sağlayan kümeyi belirle.
AA kümesinden 33 elemanını atarız. Geriye kalan küme A′={1,2,4,5,6}A' = \{1, 2, 4, 5, 6\} olur. Bu kümenin eleman sayısı n=5n=5'tir.
İstenmeyen eleman (3) kümeden çıkarılarak alt küme oluşumu sınırlandırılır.
2
A′A' kümesinin tüm alt kümelerinin sayısını hesapla.
25=322^5 = 32 tane alt küme vardır.
Bu sayı, içinde 3 bulunmayan tüm olası alt kümelerin sayısıdır.
3
'1 veya 2 bulunur' şartının tersini (tümleyenini) düşün.
Tersi: '1 ve 2'nin hiçbiri bulunmaz'. Yani A′A' kümesinden 1 ve 2'yi de çıkarırsak geriye {4,5,6}\{4, 5, 6\} kalır.
'Veya' bağlacını doğrudan hesaplamak yerine, tüm durumlardan 'hiçbiri' durumunu çıkarmak daha pratiktir.
4
İstenmeyen durum sayısını hesapla.
{4,5,6}\{4, 5, 6\} kümesinin alt küme sayısı 23=82^3 = 8'dir.
Bu 8 alt kümede ne 1, ne 2, ne de 3 vardır.
5
Tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkar.
32−8=2432 - 8 = 24.
Geriye kalan 24 alt kümede 3 yoktur ve (1 veya 2'den en az biri) vardır.

Anahtar Kavram

Alt küme hesaplarında koşullu sayma ve tümleyen (complement) yöntemi.

İpuçları

1
Önce '3 elemanı bulunmaz' şartını sağlamak için 3'ü kümeden tamamen çıkarıp düşünün.
2
'1 veya 2 bulunur' şartını hesaplarken, tüm durumlardan '1 ve 2'nin hiç bulunmadığı' durumları çıkarmak daha kolaydır.
3
3'ün olmadığı 5 elemanlı kümenin toplam alt küme sayısından (32), içinde ne 1'in ne de 2'nin olduğu alt kümeleri (8) çıkarın.

Alternatif Yöntem

Kümelerle Birleşim Formülü: s(K1∪K2)=s(K1)+s(K2)−s(K1∩K2)s(K_1 \cup K_2) = s(K_1) + s(K_2) - s(K_1 \cap K_2). Burada K1K_1: 1'in olduğu (ve 3'ün olmadığı) kümeler (24=162^4=16), K2K_2: 2'nin olduğu (ve 3'ün olmadığı) kümeler (24=162^4=16). Kesişim: Her ikisinin olduğu kümeler (23=82^3=8). Sonuç: 16+16−8=2416 + 16 - 8 = 24.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 29Soru →

A={∅,1,{1},{1,2}}A = \{ \emptyset, 1, \{1\}, \{1, 2\} \} kümesi veriliyor.

AA kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi, aynı zamanda AA kümesinin alt kümesi olan en az bir eleman içerir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Soruda, A kümesinin alt kümeleri içinde, 'kendisi de A kümesinin bir alt kümesi olan' elemanlardan en az birini barındıranlar sorulmaktadır. Öncelikle hangi elemanların bu şartı sağladığına bakılır: ∅\emptyset her kümenin alt kümesi olduğu için şartı sağlar. {1}\{1\} kümesinin alt küme olması için 1∈A1 \in A olmalıdır, bu da doğrudur. Ancak {1,2}\{1, 2\}'nin alt küme olması için 2∈A2 \in A olmalıdır ki bu yanlıştır. Böylece şartı sağlayan 2 eleman ({∅,{1}}\{ \emptyset, \{1\} \}) ve sağlamayan 2 eleman (1,{1,2}1, \{1, 2\}) vardır. Toplam 24=162^4=16 alt kümeden, şartı sağlayanları hiç içermeyen (sadece sağlamayanlardan oluşan) 22=42^2=4 alt küme çıkarıldığında cevap 12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını listele ve her birinin A kümesinin alt kümesi olup olmadığını kontrol et.
Elemanlar: ∅\emptyset, 11, {1}\{1\}, {1,2}\{1, 2\}.
1. ∅⊆A\emptyset \subseteq A mı? EVET (Boş küme her kümenin alt kümesidir).
2. 1⊆A1 \subseteq A mı? HAYIR (1 bir sayıdır/elemandır, küme değildir).
3. {1}⊆A\{1\} \subseteq A mı? EVET (1∈A1 \in A olduğu için).
4. {1,2}⊆A\{1, 2\} \subseteq A mı? HAYIR (Çünkü 2∉A2 \notin A. Sadece {1,2}\{1, 2\} eleman olarak var).
Soruda istenen 'Aynı zamanda alt küme olan elemanları' tespit etmek için.
2
Şartı sağlayan (hedef) ve sağlamayan eleman sayılarını belirle.
Hedef Elemanlar (Hem eleman hem alt küme): {∅,{1}}\{\emptyset, \{1\}\} (2 tane).
Diğer Elemanlar: {1,{1,2}}\{1, \{1, 2\}\} (2 tane).
Kombinasyon hesabı için grupları ayırmak gerekir.
3
İstenen durumu hesapla (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar).
Tüm alt kümeler: 24=162^4 = 16.
İstenmeyen durum (İçinde HİÇ hedef eleman olmayanlar): Sadece 'Diğer Elemanlar' kullanılarak oluşturulan alt kümelerdir. 22=42^2 = 4.
Sonuç: 16−4=1216 - 4 = 12.
'En az bir' koşulu içeren sorularda tümleyenden gitmek daha kolaydır.

Anahtar Kavram

Alt küme tanımı ile eleman olma ({x}⊆A  ⟺  x∈A\{x\} \subseteq A \iff x \in A) arasındaki farkın analizi.

İpuçları

1
Önce A kümesinin elemanlarını tek tek inceleyin: Bu elemanlardan hangileri, tek başına bir küme olarak düşünüldüğünde yine A'nın içinde kapsanır? (Not: ∅\emptyset her kümenin alt kümesidir, {x}⊆A\{x\} \subseteq A olması için x∈Ax \in A olmalıdır).
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Alt Küme Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin