Examkin

Binom Açılımı

36 soru

Soru 21Soru →
(2x3−1x2)n \left( 2x^3 - \frac{1}{x^2} \right)^n

ifadesinin açılımında ortanca terimin derecesi 33 olduğuna göre, bu açılımın sondan üçüncü teriminin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Doğru cevap 60'tır.
Ortanca terim derecesi kullanılarak kuvvetin n=6n=6 olduğu bulunur. Bu açılımda sondan üçüncü terim, baştan beşinci terime (r=4r=4) karşılık gelir. Formülde yerine konulduğunda katsayı 60 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yaz ve ortanca terim şartını belirle.
Genel terim: C(n,r)(2x3)n−r(−x−2)rC(n,r) (2x^3)^{n-r} (-x^{-2})^r. Ortanca terim olması için nn çift sayı olmalı ve r=n/2r = n/2 alınmalıdır.
Binom açılımında ortanca terim, kuvvetin yarısı kadar adım gidildiğinde bulunur.
2
Verilen derece bilgisini kullanarak nn değerini bul.
xx'in kuvveti: 3(n−r)−2r=3n−5r3(n-r) - 2r = 3n - 5r. r=n/2r=n/2 için: 3n−5(n/2)=3⇒0,5n=3⇒n=63n - 5(n/2) = 3 \Rightarrow 0,5n = 3 \Rightarrow n=6.
Soruda ortanca terimin derecesinin (üs değerinin) 3 olduğu verilmiştir.
3
Sondan üçüncü terimin hangi rr değerine karşılık geldiğini bul.
Açılımda toplam n+1=7n+1 = 7 terim vardır. Sondan 1. (r=6r=6), sondan 2. (r=5r=5), sondan 3. terim için r=4r=4 olur.
Terimler r=0r=0'dan başlar. Sondan k. terim için r=n−(k−1)r = n - (k-1) formülü veya sayma yöntemi kullanılır.
4
Bulunan değerleri yerine koyarak katsayıyı hesapla.
Katsayı: C(6,4)⋅(2)6−4⋅(−1)4=15⋅22⋅1=15⋅4=60C(6,4) \cdot (2)^{6-4} \cdot (-1)^4 = 15 \cdot 2^2 \cdot 1 = 15 \cdot 4 = 60.
C(6,4)=15C(6,4) = 15 ve (−1)(-1)'in çift kuvveti pozitiftir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim C(n,r)xn−ryrC(n,r) x^{n-r} y^r formülüyle bulunur. Sondan k. terim istendiğinde rr değeri baştan saymaya göre ayarlanmalıdır.

İpuçları

1
Önce nn değerini bulmak için genel terim formülünü (C(n,r)an−rbrC(n,r) a^{n-r} b^r) yazın ve ortanca terim için r=n/2r=n/2 olduğunu hatırlayın.
2
Ortanca terimin derecesi 3 olduğuna göre, xx'in kuvvetlerini eşitleyerek n=6n=6 olduğunu bulabilirsiniz.
3
n=6n=6 ise toplam 7 terim vardır. Sondan üçüncü terim, r=4r=4 alınarak hesaplanır.

Daha Fazla Pratik

Aynı ifade için sabit terimi (x'ten bağımsız terim) bulunuz.

Alternatif Yöntem

Sondan k. terim formülü: (x+y)n(x+y)^n açılımında sondan k. terim, (y+x)n(y+x)^n açılımında baştan k. terime eşittir. İfadeyi (−1x2+2x3)6(-\frac{1}{x^2} + 2x^3)^6 olarak yazıp baştan 3. terimi (r=2r=2) hesaplayabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 22Soru →
(x2−2x)6\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^6 ifadesinin açılımındaki sabit terim (x'ten bağımsız terim) aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

İfadenin sabit terimi 240'tır.
Verilen ifadenin genel terimi (6r)(x2)6−r(−2x−1)r\binom{6}{r}(x^2)^{6-r}(-2x^{-1})^r şeklinde yazılır. x'in kuvvetleri düzenlendiğinde x12−3rx^{12-3r} elde edilir. Sabit terim olması için kuvvetin 0 olması gerekir (12−3r=012-3r=0), buradan r=4r=4 bulunur. Katsayı hesabı yapıldığında (64)(−2)4=15⋅16=240\binom{6}{4}(-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yaz.
(6r)(x2)6−r⋅(−2x−1)r\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \cdot (-2x^{-1})^r
Binom açılımının genel terimi (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r formülü ile bulunur.
2
x'in kuvvetlerini düzenle.
(6r)⋅(−2)r⋅x2(6−r)⋅x−r=(6r)(−2)rx12−2r−r=(6r)(−2)rx12−3r\binom{6}{r} \cdot (-2)^r \cdot x^{2(6-r)} \cdot x^{-r} = \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-2r-r} = \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-3r}
Katsayıyı ve değişkenin üslerini ayrıştırarak x'in toplam kuvvetini bulmak gerekir.
3
Sabit terim için x'in kuvvetini 0'a eşitle ve r değerini bul.
12−3r=0⇒3r=12⇒r=412 - 3r = 0 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4
Sabit terim, x değişkeninin bulunmadığı (yani x'in kuvvetinin 0 olduğu) terimdir.
4
Bulunan r değerini genel terimde yerine koyarak sonucu hesapla.
(64)⋅(−2)4=15⋅16=240\binom{6}{4} \cdot (-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240
(64)=6⋅52⋅1=15\binom{6}{4} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 ve (−2)4=16(-2)^4 = 16 olduğu için çarpım 240'tır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında sabit terimi bulmak için genel terim formülünde değişkenin üssü 0'a eşitlenir.
Soru 23Soru →
(3x−y)n(3x - y)^n ifadesinin binom açılımında 44 farklı terim bulunmaktadır.

Buna göre, bu açılımın katsayılar toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Binom açılımının katsayılar toplamı 8 olarak bulunur.
Verilen ifadede 4 terim olduğu belirtildiğinden n+1=4n+1=4 denkleminden n=3n=3 bulunur. Katsayılar toplamı için xx ve yy yerine 1 yazıldığında (3−1)3=23=8(3-1)^3 = 2^3 = 8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Terim sayısından faydalanarak ifadenin kuvvetini (n) belirleyin.
n+1=4⇒n=3n + 1 = 4 \Rightarrow n = 3
Bir binom açılımında terim sayısı, ifadenin kuvvetinin bir fazlasına (n+1n+1) eşittir.
2
Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazın.
x=1x = 1 ve y=1y = 1 için (3(1)−1)n(3(1) - 1)^n
Bir ifadenin katsayılar toplamını bulmanın en kısa yolu, tüm değişkenlerin yerine 1 yazmaktır.
3
Bulunan kuvvet değerini yerine koyarak işlemi tamamlayın.
(3−1)3=23=8(3 - 1)^3 = 2^3 = 8
Tabandaki çıkarma işlemi yapıldıktan sonra elde edilen sayının belirlenen kuvveti alınır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında terim sayısı n+1n+1 kuralına bağlıdır; katsayılar toplamı ise değişkenlere 1 verilerek bulunur.

İpuçları

1
Binom açılımındaki terim sayısı ile parantez dışındaki kuvvet arasındaki ilişkiyi hatırlayın (n+1n+1).
2
Katsayılar toplamını bulmak için xx ve yy yerine hangi sayıyı yazmanız gerektiğini düşünün.
3
Önce nn değerini bulun, ardından değişkenlere 1 vererek üslü ifadenin sonucunu hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

İçinde negatif terim bulunan bir binom açılımında katsayılar toplamının 0 çıktığı durumları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 24Soru →

(x2−2x2)n\left(x^2 - \frac{2}{x^2}\right)^n ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında, baştan 4. terim A⋅x4A \cdot x^4 biçimindedir.

Buna göre, AA sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -448

Cevap

İstenen katsayı -448 değeridir.
Verilen binom açılımında baştan 4. terim istendiği için r=3r=3 alınır. Genel terim formülü (nr)(x2)n−r(−2x−2)r\binom{n}{r}(x^2)^{n-r}(-2x^{-2})^r şeklinde yazıldığında, x'in kuvveti 2(n−3)−2(3)=2n−122(n-3)-2(3) = 2n-12 olur. Soruda bu kuvvetin 4 olduğu belirtilmiştir (x4x^4). Buradan 2n−12=4⇒n=82n-12=4 \Rightarrow n=8 bulunur. Son olarak katsayı A=(83)(−2)3=56⋅(−8)=−448A = \binom{8}{3}(-2)^3 = 56 \cdot (-8) = -448 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yaz ve baştan 4. terim için r değerini belirle.
Binom açılımı genel terimi (nr)(a)n−r(b)r\binom{n}{r} (a)^{n-r} (b)^r şeklindedir. Baştan 4. terim için r=4−1=3r = 4-1 = 3 alınır.
n elemanlı bir kümenin r'li kombinasyonları açılımındaki terim sırası r=0r=0 ile başlar.
2
Verilen ifadeleri genel terimde yerine koyarak x'in kuvvetini n cinsinden ifade et.
(n3)(x2)n−3(−2x−2)3=(n3)x2n−6(−2)3x−6=(n3)(−8)x2n−12\binom{n}{3} (x^2)^{n-3} (-2x^{-2})^3 = \binom{n}{3} x^{2n-6} (-2)^3 x^{-6} = \binom{n}{3} (-8) x^{2n-12}
Üslü sayıların özellikleri kullanılarak x'in üsleri birleştirilir: (xa)b=xa⋅b(x^a)^b = x^{a \cdot b} ve xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b}.
3
Elde edilen x kuvvetini soruda verilen x4x^4 ile eşitleyerek n değerini bul.
2n−12=4  ⟹  2n=16  ⟹  n=82n - 12 = 4 \implies 2n = 16 \implies n = 8
Terimlerin özdeş olması için x'in kuvvetleri eşit olmalıdır.
4
Bulunan n=8 değerini yerine koyarak A katsayısını hesapla.
A=(83)⋅(−2)3=8⋅7⋅63⋅2⋅1⋅(−8)=56⋅(−8)=−448A = \binom{8}{3} \cdot (-2)^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (-8) = 56 \cdot (-8) = -448
A katsayısı, kombinasyon değeri ile sabit sayıların kuvvetlerinin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim Tr+1=(nr)an−rbrT_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r formülüyle bulunur.

İpuçları

1
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim formülü (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r şeklindedir. Burada rr değerini doğru belirlemelisiniz.
2
Baştan 4. terim için r=3r=3 alınmalıdır. xx'in kuvvetlerini bir araya getirerek nn değerini bulmak için bir denklem kurunuz.
3
Kuvvet denkleminden n=8n=8 bulunur. Şimdi A=(83)⋅(−2)3A = \binom{8}{3} \cdot (-2)^3 işlemini işaretlere dikkat ederek hesaplayınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda ancak sabit terimi (x^0) soran sorular çözülerek n bulma pratiği yapılabilir.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, terimleri tek tek yazmak yerine Pascal üçgeni mantığı düşünülebilir, ancak n bilinmediği için genel terim formülü en güvenilir yoldur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 25Soru →
(2x+1)n(2x + 1)^n ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı 8181 olduğuna göre, bu açılımdaki x2x^2 li terimin katsayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Binom açılımındaki x2x^2 li terimin katsayısı 2424 olmalıdır.
Katsayılar toplamı kuralına göre x=1x=1 yazıldığında 3n=813^n=81 eşitliğinden n=4n=4 bulunur. (2x+1)4(2x+1)^4 açılımında x2x^2 li terim için genel terim formülünde r=2r=2 seçilmelidir. Bu durumda (42)⋅(2x)2⋅12=6⋅4=24\binom{4}{2} \cdot (2x)^2 \cdot 1^2 = 6 \cdot 4 = 24 katsayısına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamını bulmak için değişkene 1 değeri verilir.
x=1x = 1 için (2⋅1+1)n=3n=81(2 \cdot 1 + 1)^n = 3^n = 81
Bir polinom veya binom açılımında katsayılar toplamı, değişkenlerin yerine 1 yazılarak hesaplanır.
2
3n=813^n = 81 denklemi çözülerek nn değeri bulunur.
3n=34⇒n=43^n = 3^4 \Rightarrow n = 4
8181 sayısı 33'ün 44. kuvvetidir.
3
Binom genel terim formülü uygulanarak x2x^2 li terim belirlenir.
(4r)⋅(2x)4−r⋅(1)r\binom{4}{r} \cdot (2x)^{4-r} \cdot (1)^r ifadesinde 4−r=2⇒r=24-r = 2 \Rightarrow r = 2 bulunur.
x2x^2 li terimi elde etmek için xx değişkeninin kuvvetinin 22 olması gerekir.
4
r=2r = 2 değeri için terimin katsayısı hesaplanır.
(42)⋅(2x)2⋅12=6⋅4x2⋅1=24x2\binom{4}{2} \cdot (2x)^2 \cdot 1^2 = 6 \cdot 4x^2 \cdot 1 = 24x^2
Kombinasyon değeri ile terimdeki katsayıların kuvvetleri çarpılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Binom Açılımında Katsayılar Toplamı ve Genel Terim

İpuçları

1
Katsayılar toplamını bulmak için xx yerine 11 yazarak nn sayısını belirleyin.
2
3n=813^n = 81 ise n=4n = 4 olduğunu göreceksiniz. Şimdi (2x+1)4(2x+1)^4 açılımını düşünün.
3
Genel terim formülü olan (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r ifadesinde xx'in kuvvetinin 22 olması için rr kaç olmalıdır?

Daha Fazla Pratik

Binom açılımında sabit terimi bulmak için değişken yerine 0 yazılması gerektiğini hatırlayarak benzer bir soruyu çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 26Soru →
(x−2x2)n \left( x - \frac{2}{x^2} \right)^n
ifadesinin açılımında baştan dördüncü terim sabit terim olduğuna göre, bu açılımda x3x^3'lü terimin katsayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

İstenen katsayı 144'tür.
Soruda verilen ifadenin genel terimi (nr)(x)n−r(−2x−2)r\binom{n}{r} (x)^{n-r} (-2x^{-2})^r şeklindedir.

Adım 1: n değerini bulma
Baştan 4. terim için r=3r=3 alınır. Sabit terim olması için xx'in kuvveti 00 olmalıdır.
x1(n−3)⋅x−2(3)=xn−3−6=xn−9x^{1(n-3)} \cdot x^{-2(3)} = x^{n-3-6} = x^{n-9}
n−9=0⇒n=9n-9=0 \Rightarrow n=9 bulunur.

Adım 2: İstenen terimi bulma
Bizden x3x^3'lü terimin katsayısı istenmektedir. Kuvveti 33 yapmak için:
n−3r=3⇒9−3r=3⇒3r=6⇒r=2n-3r = 3 \Rightarrow 9-3r = 3 \Rightarrow 3r = 6 \Rightarrow r=2 olmalıdır.

Adım 3: Katsayıyı hesaplama
r=2r=2 ve n=9n=9 değerlerini genel terimde yerine yazalım:
(92)(x)9−2(−2x−2)2\binom{9}{2} (x)^{9-2} (-2x^{-2})^2
=9⋅82⋅x7⋅4x−4= \frac{9 \cdot 8}{2} \cdot x^7 \cdot 4x^{-4}
=36⋅x7⋅4⋅x−4= 36 \cdot x^7 \cdot 4 \cdot x^{-4}
=(36⋅4)⋅x7−4= (36 \cdot 4) \cdot x^{7-4}
=144x3= 144x^3

Katsayı 144144'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Baştan 4. terim bilgisini kullanarak n değerini bul.
r=3 için üs sıfır olmalı: 1(n-3) - 2(3) = 0 ise n = 9.
Baştan (r+1). terim formülünde r=3 alınır. Sabit terimde x'in kuvveti 0 olmalıdır.
2
Bulunan n=9 değeri için x³'lü terimi verecek r değerini hesapla.
1(9-r) - 2r = 3 ise 9 - 3r = 3 buradan r = 2 bulunur.
Genel terim formülünde x'in kuvvetini 3'e eşitleyerek ilgili r değeri bulunur.
3
Katsayıyı hesapla.
C(9,2) . (1)^7 . (-2)^2 = 36 . 1 . 4 = 144.
Kombinasyon değeri ile terimlerin katsayılarının kuvvetleri çarpılır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r formülüyle bulunur.

İpuçları

1
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim formülü: (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r. Baştan 4. terim için r değerini 3 almalısın.
2
Önce sabit terim bilgisini kullanarak n sayısını bulmalısın. Sabit terimde x'in kuvveti 0 olur.
3
n=9 bulduktan sonra, x'in kuvvetinin 3 olmasını sağlayan r değerini bul ve katsayıyı hesapla. (−2)(-2)'nin kuvvetini almayı unutma.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 27Soru →
Bir matematik öğretmeni binom açılımı konusuna giriş yaparken Pascal Üçgeni'ni kullanmaktadır. Öğretmen, tahtaya bu üçgenin bir satırında yer alan sayıları 146411 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 olarak yazmıştır. Bu sayılar (a+b)n(a + b)^n ifadesinin açılımındaki katsayılardır.
**Buna göre, (3x−4y)n(3x - 4y)^n ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?**
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin katsayılar toplamı 1'dir.
Verilen Pascal satırında 5 sayı olması, ifadenin kuvvetinin 4 olduğunu gösterir. (3x−4y)4(3x - 4y)^4 ifadesinde xx ve yy yerine 1 yazıldığında (3−4)4=(−1)4(3-4)^4 = (-1)^4 elde edilir ve sonuç 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pascal Üçgeni satırındaki sayılardan ifadenin kuvvetini (nn) belirlemek.
n=4n = 4
Pascal Üçgeni'nin bir satırında n+1n+1 adet sayı bulunur. Verilen satırda 5 sayı olduğu için n+1=5n+1 = 5 ise n=4n = 4 olur.
2
Katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki değişkenlerin yerine 1 yazmak.
(3⋅1−4⋅1)4=(3−4)4(3 \cdot 1 - 4 \cdot 1)^4 = (3 - 4)^4
Bir binom açılımında katsayılar toplamı, tüm değişkenlere 1 değeri verilerek hesaplanır.
3
Elde edilen üslü ifadeyi hesaplamak.
(−1)4=1(-1)^4 = 1
Negatif bir tabanın çift kuvveti pozitif bir sonuç verir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı değişkenlere 1 verilerek, terim sayısı ise kuvvetin 1 fazlası (n+1n+1) alınarak bulunur.

İpuçları

1
Pascal Üçgeni'ndeki bir satırda bulunan sayıların adeti, binom açılımındaki terim sayısına eşittir.
2
Katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki xx ve yy harflerinin yerine 1 yazarak işlemi tamamlayın.
3
Satırda 5 sayı olduğu için n=4n=4 olur. Şimdi (3⋅1−4⋅1)4(3 \cdot 1 - 4 \cdot 1)^4 işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Katsayılar toplamı 0 olan bir binom açılımı örneği düşünün (örneğin x−yx-y gibi).
Tahmini Süre:45s
Soru 28Soru →
(ax−2x2)5\left(ax - \frac{2}{x^2}\right)^5 ifadesinin açılımında x−4x^{-4}'lü terimin katsayısı −320-320 olduğuna göre, aa pozitif gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen şartı sağlayan aa değeri 2'dir.
Genel terim formülü kullanılarak x−4x^{-4}'lü terime karşılık gelen rr değeri 3 olarak bulunur. Bu değer katsayı formülünde yerine konulduğunda −80a2=−320-80a^2 = -320 denklemi elde edilir ve buradan a=2a=2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin binom açılımındaki genel terim formülünü yaz.
Genel Terim: (5r)(ax)5−r⋅(−2x2)r\binom{5}{r} (ax)^{5-r} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right)^r
(x+y)n=∑r=0n(nr)xn−ryr(x+y)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülü kullanılır.
2
Değişkenlerin kuvvetlerini düzenleyerek xx'in üssünü tek bir ifade haline getir.
(5r)⋅a5−r⋅x5−r⋅(−2)r⋅x−2r=(5r)⋅a5−r⋅(−2)r⋅x5−3r\binom{5}{r} \cdot a^{5-r} \cdot x^{5-r} \cdot (-2)^r \cdot x^{-2r} = \binom{5}{r} \cdot a^{5-r} \cdot (-2)^r \cdot x^{5-3r}
Katsayıları ve değişkenleri ayrıştırarak xx'in hangi kuvvetinin oluşacağını belirlemek için gereklidir.
3
x−4x^{-4}'lü terimi elde etmek için rr değerini bul.
5−3r=−4⇒3r=9⇒r=35 - 3r = -4 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3
Soruda istenen terimin kuvveti −4-4 olduğu için genel terimdeki xx'in üssü buna eşitlenir.
4
Bulunan r=3r=3 değerini katsayı kısmında yerine yaz ve verilen −320-320 değerine eşitle.
Katsayı: (53)⋅a5−3⋅(−2)3=10⋅a2⋅(−8)=−80a2\binom{5}{3} \cdot a^{5-3} \cdot (-2)^3 = 10 \cdot a^2 \cdot (-8) = -80a^2
Bilinmeyen aa sayısını bulmak için katsayı hesaplanır.
5
Oluşan denklemi çözerek aa değerini bul.
−80a2=−320⇒a2=4⇒a=2-80a^2 = -320 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 (pozitif istendiği için)
a2=4a^2=4 denkleminin kökleri ±2\pm 2 dir, ancak soru pozitif gerçel sayı istediği için 2 alınır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n ifadesinin genel terimi (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülüyle bulunur.

İpuçları

1
Binom açılımı genel terim formülü olan (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r ifadesini kullanın.
2
Genel terimi yazdıktan sonra xx'in kuvvetlerini birleştirin ve x5−3rx^{5-3r} ifadesini x−4x^{-4}'e eşitleyerek rr değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir katsayı bulma sorusunu, terim içinde köklü ifadeler (x)(\sqrt{x}) varken çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 29Soru →

Binom açılımında, bir ifadenin kuvveti ile açılım sonucunda oluşan terim sayısı arasında belirli bir ilişki vardır. Aşağıdaki tabloda bazı örnekler verilmiştir:

İfadeKuvvet (nn)Terim Sayısı (n+1n+1)
(a+b)1(a+b)^112
(a+b)2(a+b)^223
(a+b)3(a+b)^334

Buna göre, (x+2y)6(x + 2y)^6 ifadesinin binom açılımında toplam kaç terim bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Verilen ifadenin açılımında toplam 7 terim bulunur.
Binom açılımı kuralına göre, (a+b)n(a+b)^n ifadesi açıldığında terimlerin kuvvetleri toplamı nn olacak şekilde sıralanır ve bu sıralama sonucunda toplam n+1n+1 tane terim oluşur. Soruda verilen (x+2y)6(x+2y)^6 ifadesinde kuvvet n=6n=6 olduğu için, terim sayısı 6+1=76+1=7 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin kuvvetini belirleyin.
n=6n = 6
(x+2y)6(x + 2y)^6 ifadesinde parantez dışındaki üst (kuvvet) 6'dır.
2
Binom açılımı terim sayısı formülünü uygulayın.
6+1=76 + 1 = 7
(ax+by)n(ax + by)^n şeklindeki bir ifadenin açılımındaki terim sayısı her zaman kuvvetin bir fazlasına (n+1n+1) eşittir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n ifadesinin terim sayısı n+1n+1'dir.

İpuçları

1
Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n ifadesindeki kuvvet ile terim sayısı arasındaki ilişkiyi hatırlayın.
2
Terim sayısı, ifadenin en dışındaki kuvvetin her zaman 1 fazlasıdır.
3
(x+2y)6(x+2y)^6 ifadesinde kuvvet 6 olduğuna göre, bu sayıya 1 ekleyerek sonucu bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla (3x−y)4(3x - y)^4 ifadesinin kaç terimi olduğunu hesaplayarak pratiğinizi artırabilirsiniz.
Tahmini Süre:30s
Soru 30Soru →
(x3−2x2)n \left( x^3 - \frac{2}{x^2} \right)^n ifadesinin açılımında sabit terim, x10x^{10} lu terimin katsayısının 44 katına eşittir.

Buna göre, nn doğal sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Verilen şartı sağlayan nn değeri 10'dur.
Genel terim formülü kullanılarak sabit terim ve x10x^{10} lu terim için kuvvet analizleri yapıldığında, rr değerleri arasında 2 fark olduğu görülür. Katsayılar oranlandığında (−2)r(-2)^r çarpanlarından gelen 4 kat farkı, kombinasyonların eşit olmasını gerektirir. (nr+2)=(nr)\binom{n}{r+2} = \binom{n}{r} eşitliği ancak alt indislerin toplamı nn olduğunda sağlanır. Bu ilişki ve kuvvet denklemleri çözüldüğünde doğru değer 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yaz
(nr)(x3)n−r(−2x2)r=(nr)(−2)rx3n−3r−2r=(nr)(−2)rx3n−5r \binom{n}{r} (x^3)^{n-r} \left(-\frac{2}{x^2}\right)^r = \binom{n}{r} (-2)^r x^{3n-3r-2r} = \binom{n}{r} (-2)^r x^{3n-5r}
Herhangi bir terimin katsayısını ve derecesini belirlemek için genel formül gereklidir.
2
Sabit terim ve x10x^{10} lu terim için rr değerleri arasındaki ilişkiyi bul
Sabit terim için 3n−5r1=03n-5r_1=0, x10x^{10} için 3n−5r2=103n-5r_2=10. Taraf tarafa çıkarma yapılırsa 5(r1−r2)=10  ⟹  r1=r2+25(r_1-r_2)=10 \implies r_1 = r_2 + 2.
İki terimin kuvvetleri arasındaki farktan yola çıkarak rr değerleri arasındaki fark bulunur.
3
Verilen katsayı ilişkisini denkleme dök
(nr2+2)(−2)r2+2=4⋅(nr2)(−2)r2 \binom{n}{r_2+2}(-2)^{r_2+2} = 4 \cdot \binom{n}{r_2}(-2)^{r_2}
Soruda verilen '4 katıdır' bilgisini matematiksel eşitliğe dönüştürmek gerekir.
4
Denklemi sadeleştir ve nn değerini bul
(−2)r2+2=4⋅(−2)r2 (-2)^{r_2+2} = 4 \cdot (-2)^{r_2} olduğundan katsayılar sadeleşir ve (nr2+2)=(nr2) \binom{n}{r_2+2} = \binom{n}{r_2} kalır. Buradan r2+2+r2=n  ⟹  n=2r2+2 r_2 + 2 + r_2 = n \implies n = 2r_2 + 2 bulunur. 3n−5r2=10 3n - 5r_2 = 10 denkleminde yerine yazılırsa n=10n=10 bulunur.
Simetrik kombinasyon özelliği ((na)=(nb)  ⟹  a+b=n \binom{n}{a} = \binom{n}{b} \implies a+b=n ) kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar arasındaki ilişki ve simetri özelliği ((nr)=(nn−r) \binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} ).

İpuçları

1
Binom açılımının genel terimi (nr)(x3)n−r(−2x2)r\binom{n}{r} (x^3)^{n-r} (-\frac{2}{x^2})^r şeklindedir.
2
Sabit terim için xx'in kuvveti 0, diğer terim için ise 10 olmalıdır. Bu iki durumdaki rr değerleri arasındaki farkı bulun.
3
rr değerleri arasındaki fark 2'dir. (nr+2)=(nr)\binom{n}{r+2} = \binom{n}{r} eşitliğini kullanarak nn ile rr arasındaki ilişkiyi kurun.

Daha Fazla Pratik

Katsayılar toplamı ve sabit terim ilişkisini içeren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek nn değerlerini yerine koyup, sabit terim ve x10x^{10} lu terimin katsayılarını hesaplayarak oranlarını kontrol edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 31Soru →
(x+y)n(x + y)^n ifadesinin binom açılımında baştan dördüncü terim ile baştan onuncu terimin katsayıları birbirine eşittir.

Buna göre, bu açılımda toplam kaç terim vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Binom açılımında katsayıların simetri özelliği ve terim sayısı kuralına göre açılımda 13 terim bulunmaktadır.
Binom açılımında baştan dördüncü terimin katsayısı (n3)\binom{n}{3}, baştan onuncu terimin katsayısı ise (n9)\binom{n}{9}'dur. Bu katsayılar birbirine eşitse kombinasyonun simetri özelliği gereği n=3+9=12n = 3 + 9 = 12 olmalıdır. Açılımdaki terim sayısı n+1n+1 formülüyle hesaplandığı için 12+1=1312 + 1 = 13 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin kombinasyonel karşılıklarını belirleme
Baştan 4. terim için r=3r = 3, baştan 10. terim için r=9r = 9 olur.
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim (nr)\binom{n}{r} katsayısı ile hesaplanır.
2
Katsayıların eşitliğini denklem olarak yazma
(n3)=(n9)\binom{n}{3} = \binom{n}{9}
Soruda dördüncü ve onuncu terimlerin katsayılarının eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Kombinasyon özelliğini kullanarak nn değerini bulma
n=3+9=12n = 3 + 9 = 12
(na)=(nb)\binom{n}{a} = \binom{n}{b} eşitliğinde a≠ba \neq b ise n=a+bn = a + b kuralı geçerlidir.
4
Açılımdaki terim sayısını hesaplama
12+1=1312 + 1 = 13
(x+y)n(x+y)^n açılımında toplam n+1n+1 tane terim bulunur.

Anahtar Kavram

Binom Katsayılarının Simetrisi ve Terim Sayısı

İpuçları

1
Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n ifadesinde baştan kk. terimin katsayısının (nk−1)\binom{n}{k-1} olduğunu hatırlayın.
2
(n3)=(n9)\binom{n}{3} = \binom{n}{9} eşitliği size nn değerini bulduracaktır.
3
Bulduğunuz nn değerine 1 ekleyerek açılımdaki toplam terim sayısına ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Binom açılımında ortanca terimin katsayısını bulma sorularını inceleyerek simetri konusunu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 32Soru →
(2x−5y)3(2x - 5y)^3 ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −27-27

Cevap

Verilen ifadenin katsayılar toplamı −27-27 olarak bulunur.
Katsayılar toplamını bulmak için kural gereği xx ve yy yerine 11 yazılır. Bu durumda (2−5)3(2-5)^3 ifadesinden (−3)3(-3)^3 elde edilir. Negatif bir sayının tek kuvveti negatif olduğundan sonuç −27-27 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamını bulmak için ifadede bulunan değişkenlerin yerine 11 yazılır.
x=1x = 1 ve y=1y = 1 için (2⋅1−5⋅1)3(2 \cdot 1 - 5 \cdot 1)^3
Bir binom açılımında katsayılar toplamı, tüm değişkenlere 11 değeri verilerek elde edilir.
2
Parantez içindeki çarpma ve çıkarma işlemleri işlem önceliğine göre yapılır.
(2−5)3=(−3)3(2 - 5)^3 = (-3)^3
Üs alma işleminden önce parantez içindeki ifadenin değeri belirlenmelidir.
3
Elde edilen tabanın belirtilen kuvveti hesaplanır.
(−3)⋅(−3)⋅(−3)=−27(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27
Negatif bir sayının tek kuvveti yine negatiftir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı, ifadedeki tüm değişkenlerin yerine 11 yazılarak hesaplanır.

İpuçları

1
Bir açılımda tüm katsayıların toplamını bulmak için değişkenlerin yerine etkisiz eleman olan bir sayı yazmalısınız.
2
xx ve yy gördüğün her yere 11 yazarak parantez içindeki işlemi yapmayı dene.
3
İşlem (2−5)3(2-5)^3 haline gelir. Buradan (−3)3(-3)^3 değerini hesaplamalısın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde sabit terimi bulmak için değişkenlerin yerine 00 yazıldığını unutmayın.
Tahmini Süre:45s
Soru 33Soru →
(x3−ax2)n \left( x^3 - \frac{a}{x^2} \right)^n ifadesinin açılımında baştan dördüncü terim sabit terimdir. Bu açılımın katsayılar toplamı 243243 olduğuna göre, x10x^{10}'lu terimin katsayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İfadenin açılımında x10x^{10}'lu terimin katsayısı 10 olarak bulunur.
Verilen bilgiler ışığında önce sabit terim şartından açılımın kuvveti (n=5n=5), ardından katsayılar toplamından bilinmeyen sabit (a=−2a=-2) bulunur. İfade (x3+2x−2)5(x^3 + 2x^{-2})^5 olarak netleştikten sonra x10x^{10}'lu terimin katsayısı binom katsayısı ve terim katsayılarının çarpımıyla 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
nn değerini bulmak için baştan dördüncü terimin sabit terim olma özelliğini kullanın.
n=5n = 5
Baştan (r+1).(r+1). terim formülünde r=3r=3 alınır. Sabit terimde xx'in kuvveti sıfır olmalıdır: 3(n−3)−2(3)=0⇒3n−15=0⇒n=53(n-3) - 2(3) = 0 \Rightarrow 3n - 15 = 0 \Rightarrow n=5 bulunur.
2
Katsayılar toplamı bilgisini kullanarak aa değerini hesaplayın.
a=−2a = -2
x=1x=1 için katsayılar toplamı (13−a/12)5=243(1^3 - a/1^2)^5 = 243 olur. (1−a)5=35⇒1−a=3⇒a=−2(1-a)^5 = 3^5 \Rightarrow 1-a = 3 \Rightarrow a = -2 elde edilir.
3
İfadeyi düzenleyip x10x^{10}'lu terimi veren rr değerini belirleyin.
r=1r = 1
İfade (x3+2/x2)5(x^3 + 2/x^2)^5 halini alır. Genel terim: (5r)(x3)5−r(2x−2)r\binom{5}{r} (x^3)^{5-r} (2x^{-2})^r. Kuvvetler: 15−5r=10⇒r=115 - 5r = 10 \Rightarrow r = 1 olmalıdır.
4
x10x^{10}'lu terimin katsayısını hesaplayın.
10
Katsayı: (51)⋅(1)4⋅(2)1=5⋅2=10\binom{5}{1} \cdot (1)^4 \cdot (2)^1 = 5 \cdot 2 = 10 olur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında terim bulma ve katsayılar toplamı özellikleri

Daha Fazla Pratik

Binom açılımında baştan ve sondan terimlerin simetrisini kullanarak katsayı karşılaştırmaları yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 34Soru →
(4x−7y)5(4x - 7y)^5 ifadesinin xx ve yy değişkenlerine göre binom açılımı yapıldığında elde edilen terim sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İfadenin kuvveti 5 olduğu için terim sayısı 5+1=65 + 1 = 6 olur.
Binom açılımı kuralına göre, (ax+by)n(ax + by)^n ifadesinin açılımında n+1n+1 tane terim bulunur. Sorudaki ifadede kuvvet n=5n = 5 olarak verildiği için terim sayısı 5+1=65 + 1 = 6 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin dış kuvvetini (n) belirleyin.
n=5n = 5
Binom açılımında terim sayısını belirleyen temel unsur ifadenin toplam kuvvetidir.
2
Terim sayısı formülünü uygulayın.
Terim sayısı =n+1= n + 1
Bir binom açılımında (ax+by)n(ax + by)^n yapısı gereği, ana^n ile başlayan ve bnb^n ile biten toplam n+1n+1 adet terim oluşur.
3
Verilen kuvveti formülde yerine koyun.
5+1=65 + 1 = 6
Kuvvet 5 olduğu için açılımda 6 terim bulunur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında terim sayısı, ifadenin kuvvetinin bir fazlasına eşittir.

İpuçları

1
Binom açılımında terim sayısı her zaman ifadenin kuvveti ile ilişkilidir.
2
(x+y)n(x+y)^n açılımında terim sayısı n+1n+1 formülüyle hesaplanır.
3
İfadenin parantez dışındaki kuvveti 5'tir. Bu sayıya 1 ekleyerek sonucu bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla (2x+y)3(2x+y)^3 ifadesini açarak terim sayısının neden 4 olduğunu gözlemleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:30s
Soru 35Soru →
(2x2−1x)n \left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^n ifadesinin açılımında, baştan 3. terimin katsayısı ile baştan 4. terimin katsayısının toplamı sıfırdır. Buna göre, bu açılımda x4x^4 lü terimin katsayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1120

Cevap

1120
Verilen katsayı ilişkisinden n=8n=8 olarak bulunur. Ardından x4x^4 terimini sağlayan r=4r=4 değeri tespit edilir. Genel terim formülünde yerine konulduğunda katsayı 1120 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yaz ve verilen terimlerin katsayılarını ifade et.
(nr)(2x2)n−r(−x−1)r \binom{n}{r} (2x^2)^{n-r} (-x^{-1})^r formülünden, 3. terim (r=2r=2) için katsayı (n2)2n−2 \binom{n}{2} 2^{n-2} , 4. terim (r=3r=3) için katsayı −(n3)2n−3 -\binom{n}{3} 2^{n-3} bulunur.
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim formülü kullanılır.
2
Katsayılar toplamının sıfır olduğu bilgisini kullanarak eşitliği kur ve nn değerini bul.
(n2)2n−2−(n3)2n−3=0⇒(n2)2n−2=(n3)2n−3 \binom{n}{2} 2^{n-2} - \binom{n}{3} 2^{n-3} = 0 \Rightarrow \binom{n}{2} 2^{n-2} = \binom{n}{3} 2^{n-3} . Sadeleştirme sonucu n=8n=8 bulunur.
Verilen koşuldan nn kuvvetini belirlemek gereklidir.
3
x4x^4 lü terimi elde etmek için gereken rr değerini hesapla.
(x2)8−r(x−1)r=x16−2r−r=x16−3r (x^2)^{8-r} (x^{-1})^r = x^{16-2r-r} = x^{16-3r} . 16−3r=4⇒3r=12⇒r=4 16-3r=4 \Rightarrow 3r=12 \Rightarrow r=4 olarak bulunur.
İstenen terimin kuvvetine ulaşmak için rr değeri belirlenmelidir.
4
Bulunan nn ve rr değerlerini yerine koyarak katsayıyı hesapla.
(84)(2)8−4(−1)4=70⋅16⋅1=1120 \binom{8}{4} (2)^{8-4} (-1)^4 = 70 \cdot 16 \cdot 1 = 1120
Sonuç katsayısını bulmak için tüm çarpanlar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar arasındaki ilişki kullanılarak bilinmeyen kuvvetin (nn) bulunması ve genel terim formülü ile istenen terimin katsayısının hesaplanması.

İpuçları

1
Önce genel terim formülünü yazarak baştan 3. (r=2r=2) ve 4. (r=3r=3) terimlerin katsayılarını nn cinsinden ifade edin.
2
Katsayılar toplamı sıfır olduğuna göre, bu iki katsayı mutlak değerce eşit ve zıt işaretlidir. Bu eşitliği kullanarak nn değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, katsayılar toplamı yerine belirli bir terimin katsayısının verildiği durumu inceleyin.

Alternatif Yöntem

Pascal üçgeni özelliklerini kullanarak, ardışık terim katsayıları arasındaki orandan nn değerini daha hızlı tahmin edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 36Soru →

(x2−ax)6\left(x^2 - \frac{a}{x}\right)^6 ifadesinin açılımında x3x^3 lü terimin katsayısı −160-160 tır.

Buna göre, bu ifadenin açılımındaki sabit terim kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

İfadenin sabit terimi 240'tır.
Soruda verilen x3x^3 lü terim bilgisi kullanılarak önce bilinmeyen aa değeri bulunur (a=2a=2). Daha sonra sabit terim (yani x0x^0) için gereken rr değeri (r=4r=4) bulunarak hesaplama yapılır. (64)(−2)4=15⋅16=240\binom{6}{4} (-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yaz: (nr)(1.terim)n−r(2.terim)r\binom{n}{r} (1.terim)^{n-r} (2.terim)^r
(6r)(x2)6−r(−ax−1)r\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} (-ax^{-1})^r
Binom açılımındaki herhangi bir terimi bulmak için genel formül kullanılır.
2
x3x^3 lü terimi bulmak için x'in kuvvetini 3'e eşitle ve r değerini bul.
2(6−r)−r=3⇒12−3r=3⇒3r=9⇒r=32(6-r) - r = 3 \Rightarrow 12 - 3r = 3 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3
İstenen terimin hangi sırada olduğunu (r değerini) belirlemek gerekir.
3
Bulunan r=3 değerini ve verilen katsayıyı (-160) kullanarak a değerini hesapla.
(63)(−a)3=−160⇒20⋅(−a3)=−160⇒a3=8⇒a=2\binom{6}{3} (-a)^3 = -160 \Rightarrow 20 \cdot (-a^3) = -160 \Rightarrow a^3 = 8 \Rightarrow a = 2
Bilinmeyen parametreyi (a) bulmak için verilen katsayı bilgisi kullanılır.
4
Sabit terimi bulmak için x'in kuvvetini 0'a eşitle ve yeni r değerini bul.
12−3r=0⇒3r=12⇒r=412 - 3r = 0 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4
Sabit terim, x değişkeninin bulunmadığı (kuvvetinin 0 olduğu) terimdir.
5
Yeni r=4 ve a=2 değerlerini genel terimde yerine koyarak sonucu hesapla.
(64)(x2)2(−2x−1)4=15⋅x4⋅16x−4=15⋅16=240\binom{6}{4} (x^2)^2 (-2x^{-1})^4 = 15 \cdot x^4 \cdot 16x^{-4} = 15 \cdot 16 = 240
Son işlemle istenen sabit terim değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülüyle bulunur. Sabit terim için değişkenin kuvveti 0 olmalıdır.

İpuçları

1
Önce (nr)(1.terim)n−r(2.terim)r\binom{n}{r} (1.terim)^{n-r} (2.terim)^r genel terim formülünü yazarak x'in kuvvetlerini düzenleyiniz.
2
x3x^3 elde etmek için rr yerine kaç gelmesi gerektiğini bulunuz. Bu sayede aa değerini hesaplayabilirsiniz.
3
a=2a=2 bulduktan sonra, sabit terim için x'in kuvvetini sıfırlayan yeni r değerini (r=4) kullanarak hesap yapınız.

Alternatif Yöntem

Sabit terim dışındaki sorularda a değeri bulunamazsa, bazen değişken yerine değer verme (x=1 gibi) yöntemi kullanılabilir, ancak bu soruda x paydada olduğu için genel terim yöntemi zorunludur.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Binom Açılımı Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin