Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSonlu Kaynaklı (Popülasyonlu) Kuyruk Modelleri (Makine Bakım Problemleri)

Bir üretim tesisinde bulunan 33 adet özdeş makinenin her biri, ortalama 1010 saatte bir arıza yapmaktadır (saatte ortalama bozulma oranı λ=0,1\lambda = 0,1). Tesiste bu makinelerin onarımıyla ilgilenen tek bir teknisyen bulunmakta olup teknisyenin ortalama tamir hızı saatte μ=0,2\mu = 0,2 birimdir. Arızalanma ve tamir sürelerinin sırasıyla Poisson ve üstel dağılıma uygun olduğu varsayıldığında, sistem kararlı hale (steady-state) ulaştığında sistemde hiç arızalı makine bulunmama olasılığı kaçtır?

  1. 4/194/19Cevap
  2. B
    8/158/15
  3. C
    15/1915/19
  4. D
    6/196/19
  5. E
    4/154/15

Cevap

Sistemde hiç arızalı makine bulunmama olasılığı 4/194/19 olarak hesaplanır.
Verilen modelde N=3N=3 makine ve bir tamirci bulunmaktadır. ρ=0,5\rho = 0,5 değeriyle kurulan P0=[1+3ρ+6ρ2+6ρ3]−1P_0 = [1 + 3\rho + 6\rho^2 + 6\rho^3]^{-1} denklemi çözüldüğünde toplam 4,754,75 (yani 19/419/4) çıkmaktadır. Bu değerin tersi olan 4/194/19 sistemde hiç arızalı makine bulunmama olasılığını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Model parametrelerini belirle.
N=3N = 3, c=1c = 1, λ=0,1\lambda = 0,1, μ=0,2\mu = 0,2
Soruda verilen makine sayısı, tamirci sayısı ve hız değerlerini matematiksel modele dökmek gerekir.
2
Servis yoğunluk oranını (ρ\rho) hesapla.
ρ=λμ=0,10,2=0,5\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5
Sonlu kaynaklı modellerde durum olasılıklarını hesaplamak için kullanılan temel orandır.
3
Sistemin boş olma olasılığı (P0P_0) için denge denklemini kur.
P0=[∑n=033!(3−n)!(0,5)n]−1P_0 = [\sum_{n=0}^{3} \frac{3!}{(3-n)!} (0,5)^n]^{-1}
Tek kanallı (c=1c=1) sonlu popülasyon modelinde P0P_0 formülü bu toplamın tersidir.
4
Toplamın terimlerini tek tek hesapla.
n=0→1n=0 \rightarrow 1, n=1→3×0,5=1,5n=1 \rightarrow 3 \times 0,5 = 1,5, n=2→6×0,25=1,5n=2 \rightarrow 6 \times 0,25 = 1,5, n=3→6×0,125=0,75n=3 \rightarrow 6 \times 0,125 = 0,75
Her bir durumun P0P_0 cinsinden katsayılarını belirlemek gerekir.
5
Toplamı ve P0P_0 değerini bul.
1+1,5+1,5+0,75=4,75→P0=14,75=100475=4191 + 1,5 + 1,5 + 0,75 = 4,75 \rightarrow P_0 = \frac{1}{4,75} = \frac{100}{475} = \frac{4}{19}
Elde edilen katsayılar toplanarak sistemin normalize edilmesi sağlanır.

Anahtar Kavram

Sonlu Kaynaklı (Popülasyonlu) Kuyruk Modellerinde (M/M/1/N/N) sistemin boş olma olasılığı, her bir durumun (nn) popülasyon kısıtı altındaki ağırlıklarının toplamının tersine eşittir.

İpuçları

1
Bu bir sonlu kaynaklı (makine bakım) kuyruk problemidir; λ\lambda ve μ\mu oranlarını belirleyerek başlayın.
2
Pn=N!(N−n)!ρnP0P_n = \frac{N!}{(N-n)!} \rho^n P_0 formülünü kullanarak tüm PnP_n değerlerini P0P_0 cinsinden yazın.
3
P0+P1+P2+P3=1P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1 eşitliğinde ρ=0,5\rho = 0,5 koyarak P0(1+1,5+1,5+0,75)=1P_0(1 + 1,5 + 1,5 + 0,75) = 1 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Aynı sistemde tamircinin beklenen meşguliyet süresini veya kuyrukta bekleyen ortalama makine sayısını (LqL_q) hesaplamayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Durum geçiş diyagramı (state transition diagram) çizilerek her durum için denge denklemleri (0.3P0=0.2P10.3 P_0 = 0.2 P_1 gibi) yazılarak da çözüme gidilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sonlu Kaynaklı (Popülasyonlu) Kuyruk Modelleri (Makine Bakım Problemleri)

Bu konudan daha fazla soru