Bir marangoz atölyesinde 3 adet özdeş zımpara makinesi bulunmaktadır. Her bir makine ortal… — KPSS İstatistik

Bir marangoz atölyesinde $3$ adet özdeş zımpara makinesi bulunmaktadır. Her bir makine ortalama $2$ saatte bir arızalanmakta (Poisson dağılımı) ve arızalanan bir makinenin tamiri tek bir usta tarafından ortalama $1$ saatte (üstel dağılım) tamamlanmaktadır.

Buna göre, atölyedeki tüm makinelerin çalışır durumda olma (tamircinin boşta kalma) olasılığı kaçtır?

4/19Cevap
B
1/2
C
1/4
D
2/9
E
8/19

Cevap

Atölyedeki tüm makinelerin çalışır durumda olma olasılığı 4/19'dur.

Verilen problemde popülasyon kısıtlı (

N=3

) olduğu için sonlu kaynaklı kuyruk modeli uygulanmalıdır.

\lambda/\mu = 0,5

oranı kullanılarak yapılan hesaplamada, sistemin boş olma olasılığı

P_0 = (1 + 1,5 + 1,5 + 0,75)^{-1} = 4/19

olarak bulunur. Bu değer tamircinin hiçbir makineyle ilgilenmediği, yani tüm makinelerin sağlam olduğu durumu ifade eder.

Adım Adım Çözüm

Model parametrelerini belirleyin.

N = 3

(toplam makine),

\lambda = 1/2 = 0,5

(arıza hızı),

\mu = 1/1 = 1,0

(tamir hızı),

c = 1

(usta sayısı).

Sonlu kaynaklı kuyruk modelinde (M/M/1/N/N) hesaplama yapabilmek için temel hızların ve popülasyonun bilinmesi gerekir.

Durum olasılıklarını (

P_n

) veren formülü kurun.

P_n = \frac{N!}{(N-n)!} (\frac{\lambda}{\mu})^n P_0

Sistemde

n

adet arızalı makine bulunma olasılığı, sonlu kaynaklı modellerde bu genel formül ile belirlenir.

Sistemin boş olma olasılığını (

P_0

) hesaplamak için toplam olasılık denklemini (

Σ P_n = 1

) kullanın.

P_0 [1 + \frac{3!}{2!}(0,5)^1 + \frac{3!}{1!}(0,5)^2 + \frac{3!}{0!}(0,5)^3] = 1

Tüm olası durumların (0, 1, 2, 3 makine arızalı) toplam olasılığı 1 olmalıdır.

Parantez içindeki terimleri hesaplayın.

1 + (3 \times 0,5) + (6 \times 0,25) + (6 \times 0,125) = 1 + 1,5 + 1,5 + 0,75 = 4,75

Her bir durumun

P_0

cinsinden katsayısı toplanarak

P_0

değeri çekilir.

Sonucu rasyonel ifadeye çevirin.

P_0 = \frac{1}{4,75} = \frac{1}{19/4} = \frac{4}{19}

Bulunan ondalık değer sınav formatına uygun olarak kesirli ifadeye dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Sonlu Kaynaklı Kuyruk Modellerinde (Makine Bakım Problemleri) durum olasılıkları, arıza yapan birimlerin popülasyonu azaldıkça varış hızının değişmesi nedeniyle faktöriyel terimler içerir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru