Examkin

Sonlu Kaynaklı (Popülasyonlu) Kuyruk Modelleri (Makine Bakım Problemleri)

9 soru

Soru 1Soru →

Bir tekstil atölyesinde bulunan 22 adet özdeş dokuma makinesinin her biri ortalama 1010 saatte bir arızalanmaktadır. Arızalanan makineler, tek bir teknisyen tarafından ortalama 55 saatte tamir edilmektedir. Arıza ve tamir sürelerinin üstel dağılıma uygun olduğu varsayıldığında, sistemde (tamirde veya tamir sırasında bekleyen) bulunan beklenen makine sayısı (LL) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,80

Cevap

Sistemde bulunan beklenen makine sayısı 0,80'dir.
Verilen problemde 22 makine ve 11 tamirci bulunmaktadır (M/M/1//2M/M/1//2 modeli). Sistemin boş olma olasılığı P0=0,40P_0 = 0,40, sistemde bir makine olma olasılığı P1=0,40P_1 = 0,40 ve iki makine olma olasılığı P2=0,20P_2 = 0,20 olarak hesaplanır. Beklenen makine sayısı ise L=1⋅P1+2⋅P2=1⋅(0,40)+2⋅(0,20)=0,80L = 1 \cdot P_1 + 2 \cdot P_2 = 1 \cdot (0,40) + 2 \cdot (0,20) = 0,80 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri belirle
N=2N = 2, λ=1/10=0,1\lambda = 1/10 = 0,1, μ=1/5=0,2\mu = 1/5 = 0,2, s=1s = 1
Sonlu kaynaklı modelin (Makine Bakım Problemi) çözümüne başlamak için temel hız değerlerini ve popülasyon büyüklüğünü belirlemek gerekir.
2
Servis yoğunluğu oranını (ρ\rho) hesapla
ρ=λμ=0,10,2=0,5\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5
Durum olasılıklarını hesaplamak için varış hızının hizmet hızına oranı gereklidir.
3
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesapla
P0=[∑n=0NN!(N−n)!ρn]−1=[1+2(0,5)+2(0,25)]−1=[1+1+0,5]−1=0,4P_0 = [ \sum_{n=0}^{N} \frac{N!}{(N-n)!} \rho^n ]^{-1} = [1 + 2(0,5) + 2(0,25)]^{-1} = [1 + 1 + 0,5]^{-1} = 0,4
Sistemin denge durumundaki olasılık dağılımının temeli boş olma olasılığıdır.
4
Diğer durum olasılıklarını hesapla
P1=2!1!(0,5)1(0,4)=0,4P_1 = \frac{2!}{1!} (0,5)^1 (0,4) = 0,4; P2=2!0!(0,5)2(0,4)=0,2P_2 = \frac{2!}{0!} (0,5)^2 (0,4) = 0,2
Beklenen değeri hesaplamak için her bir n durumu (sistemdeki makine sayısı) için olasılıklar gereklidir.
5
Beklenen makine sayısını (LL) hesapla
L=∑n=02n⋅Pn=0(0,4)+1(0,4)+2(0,2)=0,4+0,4=0,8L = \sum_{n=0}^{2} n \cdot P_n = 0(0,4) + 1(0,4) + 2(0,2) = 0,4 + 0,4 = 0,8
Sistemdeki beklenen birim sayısı, durumların olasılıklarıyla ağırlıklı ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

Sonlu kaynaklı (popülasyonlu) kuyruk modellerinde varış hızı sistemdeki birim sayısına bağlıdır, bu nedenle sonsuz kaynaklı standart M/M/1M/M/1 formülleri geçerli değildir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2Soru →

Bir tekstil işletmesinde bulunan 33 adet özdeş dokuma makinesi, her biri ortalama 2020 saatte bir arızalanmaktadır (Poisson dağılımı). Arızalanan makineler, bu makinelerden sorumlu tek bir teknisyen tarafından ortalama 1010 saatte tamir edilmektedir (Üstel dağılım). Makinelerin bozulma ve tamir süreçlerinin birbirinden bağımsız olduğu varsayıldığında, teknisyenin önünde tamir edilmeyi bekleyen (kuyrukta olan) ortalama makine sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12/1912/19

Cevap

Sistemde tamir edilmeyi bekleyen ortalama makine sayısı 12/1912/19'dur.
Verilen parametrelerle sonlu kaynaklı kuyruk modeli çözüldüğünde, sistemin boş olma olasılığı P0=4/19P_0 = 4/19 olarak bulunur. Bu değer üzerinden hesaplanan P2=6/19P_2 = 6/19 ve P3=3/19P_3 = 3/19 olasılıkları kullanılarak, kuyrukta bekleyen makinelerin beklenen değeri Lq=1⋅P2+2⋅P3=12/19L_q = 1 \cdot P_2 + 2 \cdot P_3 = 12/19 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parametrelerin belirlenmesi
N=3N = 3, c=1c = 1, λ=1/20\lambda = 1/20 arıza/saat, μ=1/10\mu = 1/10 tamir/saat
Sonlu kaynaklı model (Makine Bakım Problemi) için gerekli giriş verileri tanımlanmalıdır.
2
Hizmet yoğunluk oranının (ρ\rho) hesaplanması
ρ=λ/μ=(1/20)/(1/10)=0,5\rho = \lambda / \mu = (1/20) / (1/10) = 0,5
Olasılık hesaplamalarında kullanılacak temel oran belirlenir.
3
Sistemin boş olma olasılığının (P0P_0) hesaplanması
1/P0=∑n=033!(3−n)!(0,5)n=1+1,5+1,5+0,75=4,75⇒P0=4/191/P_0 = \sum_{n=0}^{3} \frac{3!}{(3-n)!} (0,5)^n = 1 + 1,5 + 1,5 + 0,75 = 4,75 \Rightarrow P_0 = 4/19
Diğer tüm durum olasılıklarının temeli olan boş sistem olasılığı bulunur.
4
Durum olasılıklarının hesaplanması (Pn=N!(N−n)!ρnP0P_n = \frac{N!}{(N-n)!} \rho^n P_0)
P1=6/19,P2=6/19,P3=3/19P_1 = 6/19, P_2 = 6/19, P_3 = 3/19
Kuyruk uzunluğu hesabı için gerekli olan n>cn > c durumlarındaki olasılıklar bulunur.
5
Beklenen kuyruk uzunluğunun (LqL_q) hesaplanması
Lq=∑n=c+1N(n−c)Pn=(2−1)P2+(3−1)P3=6/19+2(3/19)=12/19L_q = \sum_{n=c+1}^{N} (n-c) P_n = (2-1)P_2 + (3-1)P_3 = 6/19 + 2(3/19) = 12/19
Kuyrukta bekleyen birimlerin matematiksel beklentisi alınır.

Anahtar Kavram

Sonlu kaynaklı (popülasyonlu) kuyruk modellerinde varış hızı, sistemdeki boş makine sayısına bağlı olarak değişir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemde 2 teknisyen olması durumunda (c=2) P0P_0 ve LqL_q değerlerinin nasıl değişeceğini hesaplayınız.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →

Bir imalathanede bulunan 22 adet özdeş makine için bozulma oranı makine başına günde ortalama 11 (λ=1\lambda = 1)'dir. Arızalanan makinelerle ilgilenen 11 tamirci bulunmaktadır ve tamir hızı günde ortalama 22 (μ=2\mu = 2)'dir. Hem bozulma hem de tamir süreleri üstel dağılıma uymaktadır. Bu bilgilere göre, sistemin kararlı hal (steady-state) durumunda sistemdeki beklenen ortalama makine sayısı (LL) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,8

Cevap

Sistemdeki beklenen ortalama makine sayısı 0,8'dir.
Sistemdeki beklenen makine sayısı, her bir durumdaki makine sayısının o durumun olasılığı ile çarpılıp toplanmasıyla bulunur. P0=0,4P_0=0,4, P1=0,4P_1=0,4 ve P2=0,2P_2=0,2 değerleri kullanıldığında L=1(0,4)+2(0,2)=0,8L = 1(0,4) + 2(0,2) = 0,8 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parametrelerin belirlenmesi
N=2N = 2, λ=1\lambda = 1, μ=2\mu = 2, c=1c = 1
Sonlu kaynaklı kuyruk modeli formüllerini uygulamak için temel veriler gereklidir.
2
Sistemin boş olma olasılığının (P0P_0) hesaplanması
P0=[1+2!1!(0,5)1+2!0!(0,5)2]−1=[1+1+0,5]−1=0,4P_0 = [1 + \frac{2!}{1!}(0,5)^1 + \frac{2!}{0!}(0,5)^2]^{-1} = [1 + 1 + 0,5]^{-1} = 0,4
Diğer durum olasılıklarını bulmak için normalizasyon sabiti olan P0 hesaplanmalıdır.
3
Sistemde nn makine olma olasılıklarının (P1,P2P_1, P_2) hesaplanması
P1=2(0,5)(0,4)=0,4P_1 = 2(0,5)(0,4) = 0,4 ve P2=2(0,25)(0,4)=0,2P_2 = 2(0,25)(0,4) = 0,2
Beklenen değer hesabı için her durumun gerçekleşme olasılığına ihtiyaç vardır.
4
Beklenen makine sayısı (LL) formülünün uygulanması
L=0(0,4)+1(0,4)+2(0,2)=0,8L = 0(0,4) + 1(0,4) + 2(0,2) = 0,8
L, durumların (makine sayısının) olasılıklarıyla ağırlıklı ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

Sonlu kaynaklı kuyruk modellerinde (Makine Bakım Problemi) durum olasılıkları ve beklenen sistem uzunluğu hesabı.
Soru 4Soru →

Bir üretim tesisinde bulunan 33 adet özdeş makinenin her biri, ortalama 1010 saatte bir arıza yapmaktadır (saatte ortalama bozulma oranı λ=0,1\lambda = 0,1). Tesiste bu makinelerin onarımıyla ilgilenen tek bir teknisyen bulunmakta olup teknisyenin ortalama tamir hızı saatte μ=0,2\mu = 0,2 birimdir. Arızalanma ve tamir sürelerinin sırasıyla Poisson ve üstel dağılıma uygun olduğu varsayıldığında, sistem kararlı hale (steady-state) ulaştığında sistemde hiç arızalı makine bulunmama olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4/194/19

Cevap

Sistemde hiç arızalı makine bulunmama olasılığı 4/194/19 olarak hesaplanır.
Verilen modelde N=3N=3 makine ve bir tamirci bulunmaktadır. ρ=0,5\rho = 0,5 değeriyle kurulan P0=[1+3ρ+6ρ2+6ρ3]−1P_0 = [1 + 3\rho + 6\rho^2 + 6\rho^3]^{-1} denklemi çözüldüğünde toplam 4,754,75 (yani 19/419/4) çıkmaktadır. Bu değerin tersi olan 4/194/19 sistemde hiç arızalı makine bulunmama olasılığını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Model parametrelerini belirle.
N=3N = 3, c=1c = 1, λ=0,1\lambda = 0,1, μ=0,2\mu = 0,2
Soruda verilen makine sayısı, tamirci sayısı ve hız değerlerini matematiksel modele dökmek gerekir.
2
Servis yoğunluk oranını (ρ\rho) hesapla.
ρ=λμ=0,10,2=0,5\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5
Sonlu kaynaklı modellerde durum olasılıklarını hesaplamak için kullanılan temel orandır.
3
Sistemin boş olma olasılığı (P0P_0) için denge denklemini kur.
P0=[∑n=033!(3−n)!(0,5)n]−1P_0 = [\sum_{n=0}^{3} \frac{3!}{(3-n)!} (0,5)^n]^{-1}
Tek kanallı (c=1c=1) sonlu popülasyon modelinde P0P_0 formülü bu toplamın tersidir.
4
Toplamın terimlerini tek tek hesapla.
n=0→1n=0 \rightarrow 1, n=1→3×0,5=1,5n=1 \rightarrow 3 \times 0,5 = 1,5, n=2→6×0,25=1,5n=2 \rightarrow 6 \times 0,25 = 1,5, n=3→6×0,125=0,75n=3 \rightarrow 6 \times 0,125 = 0,75
Her bir durumun P0P_0 cinsinden katsayılarını belirlemek gerekir.
5
Toplamı ve P0P_0 değerini bul.
1+1,5+1,5+0,75=4,75→P0=14,75=100475=4191 + 1,5 + 1,5 + 0,75 = 4,75 \rightarrow P_0 = \frac{1}{4,75} = \frac{100}{475} = \frac{4}{19}
Elde edilen katsayılar toplanarak sistemin normalize edilmesi sağlanır.

Anahtar Kavram

Sonlu Kaynaklı (Popülasyonlu) Kuyruk Modellerinde (M/M/1/N/N) sistemin boş olma olasılığı, her bir durumun (nn) popülasyon kısıtı altındaki ağırlıklarının toplamının tersine eşittir.

İpuçları

1
Bu bir sonlu kaynaklı (makine bakım) kuyruk problemidir; λ\lambda ve μ\mu oranlarını belirleyerek başlayın.
2
Pn=N!(N−n)!ρnP0P_n = \frac{N!}{(N-n)!} \rho^n P_0 formülünü kullanarak tüm PnP_n değerlerini P0P_0 cinsinden yazın.
3
P0+P1+P2+P3=1P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1 eşitliğinde ρ=0,5\rho = 0,5 koyarak P0(1+1,5+1,5+0,75)=1P_0(1 + 1,5 + 1,5 + 0,75) = 1 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Aynı sistemde tamircinin beklenen meşguliyet süresini veya kuyrukta bekleyen ortalama makine sayısını (LqL_q) hesaplamayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Durum geçiş diyagramı (state transition diagram) çizilerek her durum için denge denklemleri (0.3P0=0.2P10.3 P_0 = 0.2 P_1 gibi) yazılarak da çözüme gidilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 5Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezinde bulunan 22 adet özdeş tarayıcıdan her biri, Poisson dağılımına uygun olarak haftada ortalama 11 kez (λ=1\lambda = 1) arızalanmaktadır. Arızalı cihazlar, haftada ortalama 22 cihaz tamir edebilen (μ=2\mu = 2) tek bir teknisyen tarafından onarılmaktadır. Tamir süresi üstel dağılıma uymaktadır. Buna göre, bu kurumda herhangi bir zamanda çalışır durumda olması beklenen ortalama tarayıcı sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,2

Cevap

Herhangi bir zamanda çalışır durumda olması beklenen tarayıcı sayısı 1,2'dir.
Yapılan hesaplamalar sonucunda sistemde arızalı (tamirde veya sırada bekleyen) cihazların beklenen sayısı L=0,8L = 0,8 olarak bulunmuştur. Toplam cihaz sayısı 22 olduğu için, çalışır durumdaki cihazların beklenen değeri 2−0,8=1,22 - 0,8 = 1,2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Sistem parametrelerini belirle
N=2N=2, c=1c=1, λ=1\lambda=1, μ=2\mu=2, ρ=λ/μ=0,5\rho = \lambda/\mu = 0,5
Sonlu kaynaklı kuyruk modeli formüllerini uygulamak için temel oranlar gereklidir.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesapla
P0=[∑n=01(2n)(0,5)n+2!(2−2)!1!11(0,5)2]−1=[1+1+0,5]−1=1/2,5=0,4P_0 = [\sum_{n=0}^{1} \binom{2}{n} (0,5)^n + \frac{2!}{(2-2)! 1! 1^1} (0,5)^2]^{-1} = [1 + 1 + 0,5]^{-1} = 1/2,5 = 0,4
Sistemdeki diğer durum olasılıklarını bulmak için normalizasyon sabiti olan P0P_0 gereklidir.
3
Sistemdeki cihaz sayılarına ait olasılıkları (P1,P2P_1, P_2) hesapla
P1=(21)(0,5)1P0=1⋅0,4=0,4P_1 = \binom{2}{1}(0,5)^1 P_0 = 1 \cdot 0,4 = 0,4; P2=2!0!11(0,5)2P0=2⋅0,25⋅0,4=0,2P_2 = \frac{2!}{0! 1^1}(0,5)^2 P_0 = 2 \cdot 0,25 \cdot 0,4 = 0,2
Beklenen değer hesaplaması için her durumun olasılığı bilinmelidir.
4
Sistemdeki beklenen cihaz sayısını (LL) hesapla
L=0(P0)+1(P1)+2(P2)=0(0,4)+1(0,4)+2(0,2)=0,8L = 0(P_0) + 1(P_1) + 2(P_2) = 0(0,4) + 1(0,4) + 2(0,2) = 0,8
Sistemde 'çalışmayan' (tamirdeki veya bekleyen) cihazların ortalaması budur.
5
Çalışır durumdaki beklenen cihaz sayısını bul
E[C\calıs\can]=N−L=2−0,8=1,2E[Çalışan] = N - L = 2 - 0,8 = 1,2
Toplam popülasyondan sistemdeki (arızalı) cihaz sayısı çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sonlu kaynaklı kuyruk modellerinde sistemdeki beklenen birim sayısı (LL) ve operasyonel birim sayısı (N−LN-L) ilişkisi.

Daha Fazla Pratik

Teknisyen sayısının 2'ye çıkarılması durumunda sistem performansındaki değişimi inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 6Soru →

Bir marangoz atölyesinde 33 adet özdeş zımpara makinesi bulunmaktadır. Her bir makine ortalama 22 saatte bir arızalanmakta (Poisson dağılımı) ve arızalanan bir makinenin tamiri tek bir usta tarafından ortalama 11 saatte (üstel dağılım) tamamlanmaktadır.

Buna göre, atölyedeki tüm makinelerin çalışır durumda olma (tamircinin boşta kalma) olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4/19

Cevap

Atölyedeki tüm makinelerin çalışır durumda olma olasılığı 4/19'dur.
Verilen problemde popülasyon kısıtlı (N=3N=3) olduğu için sonlu kaynaklı kuyruk modeli uygulanmalıdır. λ/μ=0,5\lambda/\mu = 0,5 oranı kullanılarak yapılan hesaplamada, sistemin boş olma olasılığı P0=(1+1,5+1,5+0,75)−1=4/19P_0 = (1 + 1,5 + 1,5 + 0,75)^{-1} = 4/19 olarak bulunur. Bu değer tamircinin hiçbir makineyle ilgilenmediği, yani tüm makinelerin sağlam olduğu durumu ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1
Model parametrelerini belirleyin.
N=3N = 3 (toplam makine), λ=1/2=0,5\lambda = 1/2 = 0,5 (arıza hızı), μ=1/1=1,0\mu = 1/1 = 1,0 (tamir hızı), c=1c = 1 (usta sayısı).
Sonlu kaynaklı kuyruk modelinde (M/M/1/N/N) hesaplama yapabilmek için temel hızların ve popülasyonun bilinmesi gerekir.
2
Durum olasılıklarını (PnP_n) veren formülü kurun.
Pn=N!(N−n)!(λμ)nP0P_n = \frac{N!}{(N-n)!} (\frac{\lambda}{\mu})^n P_0
Sistemde nn adet arızalı makine bulunma olasılığı, sonlu kaynaklı modellerde bu genel formül ile belirlenir.
3
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesaplamak için toplam olasılık denklemini (ΣPn=1Σ P_n = 1) kullanın.
P0[1+3!2!(0,5)1+3!1!(0,5)2+3!0!(0,5)3]=1P_0 [1 + \frac{3!}{2!}(0,5)^1 + \frac{3!}{1!}(0,5)^2 + \frac{3!}{0!}(0,5)^3] = 1
Tüm olası durumların (0, 1, 2, 3 makine arızalı) toplam olasılığı 1 olmalıdır.
4
Parantez içindeki terimleri hesaplayın.
1+(3×0,5)+(6×0,25)+(6×0,125)=1+1,5+1,5+0,75=4,751 + (3 \times 0,5) + (6 \times 0,25) + (6 \times 0,125) = 1 + 1,5 + 1,5 + 0,75 = 4,75
Her bir durumun P0P_0 cinsinden katsayısı toplanarak P0P_0 değeri çekilir.
5
Sonucu rasyonel ifadeye çevirin.
P0=14,75=119/4=419P_0 = \frac{1}{4,75} = \frac{1}{19/4} = \frac{4}{19}
Bulunan ondalık değer sınav formatına uygun olarak kesirli ifadeye dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Sonlu Kaynaklı Kuyruk Modellerinde (Makine Bakım Problemleri) durum olasılıkları, arıza yapan birimlerin popülasyonu azaldıkça varış hızının değişmesi nedeniyle faktöriyel terimler içerir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 7Soru →

Bir hastanenin yoğun bakım ünitesinde 44 adet özdeş ve kritik öneme sahip solunum cihazı (ventilatör) bulunmaktadır. Çalışır durumdaki her bir cihazın arızalanma süresi üstel dağılıma uymakta olup, bir cihaz ortalama 11 ayda bir arızalanmaktadır (λ=1\lambda = 1 arıza/ay). Bu cihazların bakım ve onarımından sorumlu 11 adet biyomedikal teknikeri görev yapmaktadır. Teknikerin tamir süreleri üstel dağılıma uymakta ve bir cihazı ortalama yarım ayda tamir etmektedir (μ=2\mu = 2 tamir/ay).

Buna göre, denge durumunda sistemde ortalama kaç adet cihazın arızalı (tamirde veya tamir sırasında sıra bekleyen) olması beklenir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4621\frac{46}{21}

Cevap

Sistemdeki beklenen arızalı cihaz sayısı 4621\frac{46}{21}'dir.
Sonlu kaynaklı (makine bakım) kuyruk modellerinde, sistemde beklenen müşteri (arızalı makine) sayısı LL hesaplanırken öncelikle P0P_0 (hiç arızalı makine olmama olasılığı) formülü kullanılır. P0P_0 değeri 221\frac{2}{21} olarak bulunduktan sonra, tamircinin sürekli meşgul olma oranı (1−P0=19211-P_0 = \frac{19}{21}) üzerinden efektif arıza hızı λeff=μ(1−P0)=3821\lambda_{eff} = \mu(1-P_0) = \frac{38}{21} olarak elde edilir. Son adımda L=N−(λeff/λ)L = N - (\lambda_{eff} / \lambda) eşitliğinden sistemde beklenen arızalı cihaz sayısı 4−3821=46214 - \frac{38}{21} = \frac{46}{21} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Probleme ait parametrelerin belirlenmesi.
Toplam popülasyon N=4N = 4, bozulma oranı λ=1\lambda = 1 arıza/ay, tamir oranı μ=2\mu = 2 tamir/ay ve servis kanalı (tamirci) sayısı c=1c = 1.
Kullanılacak sonlu kaynaklı kuyruk modeli formülleri için temel değişkenlerin tanımlanması gerekir.
2
Sistemin boş olma olasılığının (P0P_0) hesaplanması.
P0=[∑n=044!(4−n)!(12)n]−1=[1+4(0.5)+12(0.25)+24(0.125)+24(0.0625)]−1=[1+2+3+3+1.5]−1=221P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{4} \frac{4!}{(4-n)!} (\frac{1}{2})^n \right]^{-1} = \left[ 1 + 4(0.5) + 12(0.25) + 24(0.125) + 24(0.0625) \right]^{-1} = [1 + 2 + 3 + 3 + 1.5]^{-1} = \frac{2}{21}.
Sonlu kaynaklı sistemlerde performans ölçütlerini bulabilmek için öncelikle sistemde hiç arızalı makine bulunmama olasılığı olan P0P_0 bulunmalıdır.
3
Efektif bozulma hızının (λeff\lambda_{eff}) hesaplanması.
Teknikerin meşguliyet oranı 1−P0=1−221=19211 - P_0 = 1 - \frac{2}{21} = \frac{19}{21}'dir. Buradan λeff=μ(1−P0)=2×1921=3821\lambda_{eff} = \mu(1 - P_0) = 2 \times \frac{19}{21} = \frac{38}{21} arıza/ay bulunur.
Sistemdeki beklenen makine sayısını (LL) bulmak için gerçekte sisteme giren (arızalanan) efektif oranın bilinmesi gerekir.
4
Sistemdeki beklenen arızalı cihaz sayısının (LL) hesaplanması.
L=N−λeffλ=4−38/211=84−3821=4621L = N - \frac{\lambda_{eff}}{\lambda} = 4 - \frac{38/21}{1} = \frac{84 - 38}{21} = \frac{46}{21} adet cihaz.
Denge durumunda sistemde bulunan (tamirde veya sırada bekleyen) ortalama birim sayısı bu formülle elde edilir.

Anahtar Kavram

Sonlu Kaynaklı Kuyruk Modelleri (M/M/1/K/K)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 8Soru →

Bir akıllı serada otonom olarak hasat yapan 33 adet özdeş robot bulunmaktadır. Robotların arızasız çalışma süreleri üstel dağılıma uymakta olup, bir robot ortalama 22 günde bir arıza yapmaktadır (arıza oranı makine başına λ=0,5\lambda = 0,5 arıza/gün). Serada bu robotların bakım ve onarımından sorumlu 11 adet teknisyen görev yapmaktadır. Teknisyenin bir arızalı robotu tamir etme süresi üstel dağılıma uymakta olup, ortalama tamir süresi 11 gündür (μ=1\mu = 1 tamir/gün).

Buna göre, kararlı durumda (steady-state) sistemde bulunan (tamir edilen veya tamir için sıra bekleyen) ortalama robot sayısı (LL) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2719\frac{27}{19}

Cevap

Sistemde bulunan ortalama robot sayısı 2719\frac{27}{19} olarak hesaplanır.
Verilen problem Sonlu Kaynaklı (Makine Bakım) Kuyruk Modelidir. Parametreler N=3N=3, λ=0,5\lambda=0,5 ve μ=1\mu=1 olarak tanımlanmıştır. Sistemin boş olma olasılığı (P0P_0), seri toplamı formülü olan [∑N!(N−n)!(λ/μ)n]−1\left[ \sum \frac{N!}{(N-n)!} (\lambda/\mu)^n \right]^{-1} üzerinden 4/194/19 olarak bulunur. Sistemdeki ortalama makine sayısı formülü L=N−(μ/λ)(1−P0)L = N - (\mu/\lambda)(1 - P_0) kullanıldığında sonucun 2719\frac{27}{19} olduğu açıkça görülmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Model parametrelerini belirleme.
N=3N = 3 (toplam popülasyon), c=1c = 1 (servis kanalı), λ=0,5\lambda = 0,5 (makine başına bozulma hızı), μ=1\mu = 1 (tamir hızı).
Sonlu kaynaklı kuyruk modelinde formülleri uygulayabilmek için temel girdi parametrelerinin standardize edilmesi gerekir.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesaplama.
P0=419P_0 = \frac{4}{19}
P0=[∑n=0NN!(N−n)!(λμ)n]−1P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{N} \frac{N!}{(N-n)!} \left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n \right]^{-1} formülü kullanılır.
n=0⇒1n=0 \Rightarrow 1
n=1⇒3!2!(0,5)1=3×0,5=1,5n=1 \Rightarrow \frac{3!}{2!} (0,5)^1 = 3 \times 0,5 = 1,5
n=2⇒3!1!(0,5)2=6×0,25=1,5n=2 \Rightarrow \frac{3!}{1!} (0,5)^2 = 6 \times 0,25 = 1,5
n=3⇒3!0!(0,5)3=6×0,125=0,75n=3 \Rightarrow \frac{3!}{0!} (0,5)^3 = 6 \times 0,125 = 0,75
Toplam = 1+1,5+1,5+0,75=4,75=1941 + 1,5 + 1,5 + 0,75 = 4,75 = \frac{19}{4}. Buradan P0=419P_0 = \frac{4}{19} bulunur.
3
Sistemdeki ortalama birim sayısını (LL) hesaplama.
L=2719L = \frac{27}{19}
Sonlu model için LL formülü: L=N−μλ(1−P0)L = N - \frac{\mu}{\lambda}(1 - P_0) şeklindedir.
Değerleri yerine koyarsak: L=3−10,5×(1−419)=3−2×(1519)=3−3019=57−3019=2719L = 3 - \frac{1}{0,5} \times \left(1 - \frac{4}{19}\right) = 3 - 2 \times \left(\frac{15}{19}\right) = 3 - \frac{30}{19} = \frac{57 - 30}{19} = \frac{27}{19} elde edilir.

Anahtar Kavram

Sonlu Kaynaklı Kuyruk Modelleri (M/M/1/K/K)

Alternatif Yöntem

LL değerini L=∑n=0Nn⋅PnL = \sum_{n=0}^{N} n \cdot P_n şeklinde uzun yoldan da hesaplayabiliriz. P1=619P_1 = \frac{6}{19}, P2=619P_2 = \frac{6}{19}, P3=319P_3 = \frac{3}{19} olduğundan; L=0×419+1×619+2×619+3×319=6+12+919=2719L = 0 \times \frac{4}{19} + 1 \times \frac{6}{19} + 2 \times \frac{6}{19} + 3 \times \frac{3}{19} = \frac{6 + 12 + 9}{19} = \frac{27}{19} sonucu aynı şekilde teyit edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 9Soru →

Bir maden işletmesinde, çıkarılan cevheri taşımakla görevli 33 adet dev kaya kamyonu bulunmaktadır. Kamyon sayısı belirli ve sınırlı olduğundan, bu durum makine bakım problemi (sonlu kaynaklı kuyruk modeli) oluşturmaktadır.

Her bir kamyonun arızalanma süresi üstel dağılıma uymakta olup, bir kamyon haftada ortalama 11 kez arızalanmaktadır (kamyon başına bozulma oranı λ=1\lambda = 1 arıza/hafta). Sistemde, arızalanan kamyonlara müdahale eden 11 adet özel donanımlı tamir ekibi (tek servis kanalı) görev yapmaktadır. Tamir ekibinin onarım süresi de üstel dağılıma uymakta olup, ekip haftada ortalama 44 kamyonu tamir edebilme kapasitesine sahiptir (tamir oranı μ=4\mu = 4 tamir/hafta).

Buna göre, rastgele seçilen bir anda bu maden işletmesinde arızalı durumda olan (tamir edilen veya tamir edilmeyi bekleyen) beklenen ortalama kamyon sayısı (LL) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5771\frac{57}{71}

Cevap

Rastgele bir anda sistemde arızalı bulunan beklenen ortalama kamyon sayısı 5771\frac{57}{71}'dir.
Sistem, sınırlı sayıda (N=3) kaynaktan gelen taleplerden oluştuğu için 'Makine Bakım Problemi' çerçevesinde ele alınmalıdır. Bu modelde sistemin boş olma olasılığı P0P_0, λμ\frac{\lambda}{\mu} oranının kombinatorik varyasyonlarıyla elde edilir ve P0=3271P_0 = \frac{32}{71} olarak hesaplanır. Ardından, L=N−μλ(1−P0)L = N - \frac{\mu}{\lambda}(1 - P_0) denklemi uygulanarak doğrudan sistemdeki beklenen ortalama birim sayısı 5771\frac{57}{71} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Model parametrelerini ve kullanılacak kuyruk sistemini belirleme.
Popülasyon N=3N = 3, kanal sayısı c=1c = 1, varış hızı λ=1\lambda = 1, hizmet hızı μ=4\mu = 4. Sonlu kaynaklı tek kanallı kuyruk modeli (M/M/1/K/NM/M/1/K/N makine bakım problemi) kullanılacaktır.
Müşteri popülasyonu sınırlı (3 kamyon) olduğu için standart sonsuz M/M/1 formülleri kullanılamaz.
2
Sistemin boş olma (hiç arızalı kamyon olmama) olasılığını (P0P_0) hesaplama.
P0=[∑n=0NN!(N−n)!(λμ)n]−1P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{N} \frac{N!}{(N-n)!} \left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n \right]^{-1} formülü uygulanır. λμ=14\frac{\lambda}{\mu} = \frac{1}{4}'tür.
P0−1=1+3!2!(14)1+3!1!(14)2+3!0!(14)3P_0^{-1} = 1 + \frac{3!}{2!}(\frac{1}{4})^1 + \frac{3!}{1!}(\frac{1}{4})^2 + \frac{3!}{0!}(\frac{1}{4})^3
P0−1=1+3(14)+6(116)+6(164)=1+34+38+332P_0^{-1} = 1 + 3(\frac{1}{4}) + 6(\frac{1}{16}) + 6(\frac{1}{64}) = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{3}{32}
Paydalar 32'de eşitlenirse: P0−1=32+24+12+332=7132P_0^{-1} = \frac{32 + 24 + 12 + 3}{32} = \frac{71}{32}. Buradan P0=3271P_0 = \frac{32}{71} bulunur.
Sonlu popülasyon modellerinde performans ölçütlerini (L, Lq) bulabilmek için temel durum olan P0P_0'a ihtiyaç vardır.
3
Beklenen arızalı kamyon sayısını (LL) formül yardımıyla hesaplama.
L=N−μλ(1−P0)L = N - \frac{\mu}{\lambda}(1 - P_0) formülü kullanılarak:
L=3−41(1−3271)=3−4(3971)L = 3 - \frac{4}{1} \left(1 - \frac{32}{71}\right) = 3 - 4 \left(\frac{39}{71}\right)
L=3−15671=21371−15671=5771L = 3 - \frac{156}{71} = \frac{213}{71} - \frac{156}{71} = \frac{57}{71} elde edilir.
Sonlu popülasyon modelinde sistemdeki ortalama birim sayısını (LL) veren en kestirme ve doğrudan hesaplama yöntemi bu formüldür.

Anahtar Kavram

Makine bakım problemlerinde (sonlu popülasyonlu kuyruk modelleri), varış hızı sistemdeki makine sayısına bağlı olarak dinamik bir şekilde değiştiği için durum olasılıkları faktöriyel çarpanlarıyla hesaplanır.
Sonlu Kaynaklı (Popülasyonlu) Kuyruk Modelleri (Makine Bakım Problemleri) Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik | Examkin