Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSonlu Kaynaklı (Popülasyonlu) Kuyruk Modelleri (Makine Bakım Problemleri)

Bir tekstil işletmesinde bulunan 33 adet özdeş dokuma makinesi, her biri ortalama 2020 saatte bir arızalanmaktadır (Poisson dağılımı). Arızalanan makineler, bu makinelerden sorumlu tek bir teknisyen tarafından ortalama 1010 saatte tamir edilmektedir (Üstel dağılım). Makinelerin bozulma ve tamir süreçlerinin birbirinden bağımsız olduğu varsayıldığında, teknisyenin önünde tamir edilmeyi bekleyen (kuyrukta olan) ortalama makine sayısı kaçtır?

  1. 12/1912/19Cevap
  2. B
    27/1927/19
  3. C
    1/21/2
  4. D
    15/1915/19
  5. E
    6/196/19

Cevap

Sistemde tamir edilmeyi bekleyen ortalama makine sayısı 12/1912/19'dur.
Verilen parametrelerle sonlu kaynaklı kuyruk modeli çözüldüğünde, sistemin boş olma olasılığı P0=4/19P_0 = 4/19 olarak bulunur. Bu değer üzerinden hesaplanan P2=6/19P_2 = 6/19 ve P3=3/19P_3 = 3/19 olasılıkları kullanılarak, kuyrukta bekleyen makinelerin beklenen değeri Lq=1⋅P2+2⋅P3=12/19L_q = 1 \cdot P_2 + 2 \cdot P_3 = 12/19 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parametrelerin belirlenmesi
N=3N = 3, c=1c = 1, λ=1/20\lambda = 1/20 arıza/saat, μ=1/10\mu = 1/10 tamir/saat
Sonlu kaynaklı model (Makine Bakım Problemi) için gerekli giriş verileri tanımlanmalıdır.
2
Hizmet yoğunluk oranının (ρ\rho) hesaplanması
ρ=λ/μ=(1/20)/(1/10)=0,5\rho = \lambda / \mu = (1/20) / (1/10) = 0,5
Olasılık hesaplamalarında kullanılacak temel oran belirlenir.
3
Sistemin boş olma olasılığının (P0P_0) hesaplanması
1/P0=∑n=033!(3−n)!(0,5)n=1+1,5+1,5+0,75=4,75⇒P0=4/191/P_0 = \sum_{n=0}^{3} \frac{3!}{(3-n)!} (0,5)^n = 1 + 1,5 + 1,5 + 0,75 = 4,75 \Rightarrow P_0 = 4/19
Diğer tüm durum olasılıklarının temeli olan boş sistem olasılığı bulunur.
4
Durum olasılıklarının hesaplanması (Pn=N!(N−n)!ρnP0P_n = \frac{N!}{(N-n)!} \rho^n P_0)
P1=6/19,P2=6/19,P3=3/19P_1 = 6/19, P_2 = 6/19, P_3 = 3/19
Kuyruk uzunluğu hesabı için gerekli olan n>cn > c durumlarındaki olasılıklar bulunur.
5
Beklenen kuyruk uzunluğunun (LqL_q) hesaplanması
Lq=∑n=c+1N(n−c)Pn=(2−1)P2+(3−1)P3=6/19+2(3/19)=12/19L_q = \sum_{n=c+1}^{N} (n-c) P_n = (2-1)P_2 + (3-1)P_3 = 6/19 + 2(3/19) = 12/19
Kuyrukta bekleyen birimlerin matematiksel beklentisi alınır.

Anahtar Kavram

Sonlu kaynaklı (popülasyonlu) kuyruk modellerinde varış hızı, sistemdeki boş makine sayısına bağlı olarak değişir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemde 2 teknisyen olması durumunda (c=2) P0P_0 ve LqL_q değerlerinin nasıl değişeceğini hesaplayınız.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sonlu Kaynaklı (Popülasyonlu) Kuyruk Modelleri (Makine Bakım Problemleri)

Bu konudan daha fazla soru