Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSonlu Kaynaklı (Popülasyonlu) Kuyruk Modelleri (Makine Bakım Problemleri)

Bir tekstil atölyesinde bulunan 22 adet özdeş dokuma makinesinin her biri ortalama 1010 saatte bir arızalanmaktadır. Arızalanan makineler, tek bir teknisyen tarafından ortalama 55 saatte tamir edilmektedir. Arıza ve tamir sürelerinin üstel dağılıma uygun olduğu varsayıldığında, sistemde (tamirde veya tamir sırasında bekleyen) bulunan beklenen makine sayısı (LL) kaçtır?

  1. 0,80Cevap
  2. B
    1,00
  3. C
    0,50
  4. D
    1,20
  5. E
    0,40

Cevap

Sistemde bulunan beklenen makine sayısı 0,80'dir.
Verilen problemde 22 makine ve 11 tamirci bulunmaktadır (M/M/1//2M/M/1//2 modeli). Sistemin boş olma olasılığı P0=0,40P_0 = 0,40, sistemde bir makine olma olasılığı P1=0,40P_1 = 0,40 ve iki makine olma olasılığı P2=0,20P_2 = 0,20 olarak hesaplanır. Beklenen makine sayısı ise L=1⋅P1+2⋅P2=1⋅(0,40)+2⋅(0,20)=0,80L = 1 \cdot P_1 + 2 \cdot P_2 = 1 \cdot (0,40) + 2 \cdot (0,20) = 0,80 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri belirle
N=2N = 2, λ=1/10=0,1\lambda = 1/10 = 0,1, μ=1/5=0,2\mu = 1/5 = 0,2, s=1s = 1
Sonlu kaynaklı modelin (Makine Bakım Problemi) çözümüne başlamak için temel hız değerlerini ve popülasyon büyüklüğünü belirlemek gerekir.
2
Servis yoğunluğu oranını (ρ\rho) hesapla
ρ=λμ=0,10,2=0,5\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5
Durum olasılıklarını hesaplamak için varış hızının hizmet hızına oranı gereklidir.
3
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesapla
P0=[∑n=0NN!(N−n)!ρn]−1=[1+2(0,5)+2(0,25)]−1=[1+1+0,5]−1=0,4P_0 = [ \sum_{n=0}^{N} \frac{N!}{(N-n)!} \rho^n ]^{-1} = [1 + 2(0,5) + 2(0,25)]^{-1} = [1 + 1 + 0,5]^{-1} = 0,4
Sistemin denge durumundaki olasılık dağılımının temeli boş olma olasılığıdır.
4
Diğer durum olasılıklarını hesapla
P1=2!1!(0,5)1(0,4)=0,4P_1 = \frac{2!}{1!} (0,5)^1 (0,4) = 0,4; P2=2!0!(0,5)2(0,4)=0,2P_2 = \frac{2!}{0!} (0,5)^2 (0,4) = 0,2
Beklenen değeri hesaplamak için her bir n durumu (sistemdeki makine sayısı) için olasılıklar gereklidir.
5
Beklenen makine sayısını (LL) hesapla
L=∑n=02n⋅Pn=0(0,4)+1(0,4)+2(0,2)=0,4+0,4=0,8L = \sum_{n=0}^{2} n \cdot P_n = 0(0,4) + 1(0,4) + 2(0,2) = 0,4 + 0,4 = 0,8
Sistemdeki beklenen birim sayısı, durumların olasılıklarıyla ağırlıklı ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

Sonlu kaynaklı (popülasyonlu) kuyruk modellerinde varış hızı sistemdeki birim sayısına bağlıdır, bu nedenle sonsuz kaynaklı standart M/M/1M/M/1 formülleri geçerli değildir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sonlu Kaynaklı (Popülasyonlu) Kuyruk Modelleri (Makine Bakım Problemleri)

Bu konudan daha fazla soru