X, p \times 1 boyutlu bir rastgele vektör olmak üzere, \mu ortalama vektörü ve \Sigma vary… — KPSS İstatistik

$X$ , $p \times 1$ boyutlu bir rastgele vektör olmak üzere, $\mu$ ortalama vektörü ve $\Sigma$ varyans-kovaryans matrisi ile çok değişkenli normal dağılıma sahiptir. Bu durum $X \sim N_p(\mu, \Sigma)$ şeklinde ifade edilmektedir.

$X$ vektörü üzerinden iki farklı doğrusal dönüşüm tanımlanmıştır:
I. $Y = AX + b$ (Burada $A$ , $q \times p$ boyutlu sabit bir matris ve $b$ , $q \times 1$ boyutlu sabit bir vektördür)
II. $Z = c'X$ (Burada $c$ , $p \times 1$ boyutlu sabit bir sütun vektörüdür)

Buna göre, $Y$ vektörünün varyans-kovaryans matrisi ( $Cov(Y)$ ) ile $Z$ değişkeninin varyansı ( $Var(Z)$ ) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

A
$A'\Sigma A$ ve $c\Sigma c'$
B
$A\Sigma$ ve $c'\Sigma$
$A\Sigma A'$ ve $c'\Sigma c$ Cevap
D
$A\Sigma A'$ ve $c\Sigma c'$
E
$A\Sigma A'$ ve $c'c$

Cevap

Doğrusal dönüşümlerin dağılım kuralına göre

Cov(AX+b) = A\Sigma A'

Var(c'X) = c'\Sigma c

olmalıdır. Bu matematiksel gerçekleri sağlayan ifade

A\Sigma A'

c'\Sigma c

'nin birlikte yer aldığı seçenektir.

Y = AX + b

vektörünün varyans-kovaryans matrisi

A\Sigma A'

olarak hesaplanır. Toplam durumundaki sabit

b

vektörü varyansa etki etmez.

Z = c'X

ifadesi

1 \times p

boyutunda özel bir doğrusal dönüşümdür ve varyansı

c'\Sigma c

şeklinde

1 \times 1

boyutunda skaler bir değer olarak elde edilir. Verilen kurallara ve boyut uyumluluklarına en uygun gösterim budur.

Adım Adım Çözüm

Y = AX + b

doğrusal dönüşümünün varyans-kovaryans matrisinin hesaplanması.

Cov(Y) = A \cdot Cov(X) \cdot A' = A\Sigma A'

karesel formu elde edilir.

Sabit matris (

A

) ile çarpılan rastgele vektörlerin varyans hesabında sabit matris önden, matrisin transpozu (

A'

) ise sondan çarpılır. Eklenti halindeki sabit vektörün (

b

) varyansa etkisi yoktur.

Z = c'X

tek değişkenli doğrusal kombinasyonunun varyansının hesaplanması.

Var(Z) = c' \cdot Cov(X) \cdot (c')' = c'\Sigma c

skaler değeri elde edilir.

Bir sütun vektörünün (

c

) transpozu olan satır vektörü (

c'

), tıpkı

A

matrisi gibi bir dönüşüm operatörüdür. Sağdan transpozunun alınması kuralında

(c')' = c

olacağından varyans

c'\Sigma c

biçimine dönüşür.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Doğrusal Dönüşümlerin Varyansı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru