Bir otomotiv fabrikasında üretilen araçların 4 farklı performans kriteri, \mathbf{X} rastg… — KPSS İstatistik

Bir otomotiv fabrikasında üretilen araçların $4$ farklı performans kriteri, $\mathbf{X}$ rastgele vektörü ile temsil edilmektedir. Boyutu $4 \times 1$ olan bu vektörün çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu ve $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}_4(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ ile modellendiği bilinmektedir.

Kalite kontrol departmanı, bu kriterleri birleştirerek tek bir 'Genel Performans İndeksi' elde etmek istemektedir. Bu amaçla $Y = \mathbf{v}^{\prime}\mathbf{X} + k$ doğrusal dönüşümü tanımlanmıştır. Burada $\mathbf{v}$ , $4 \times 1$ boyutunda bir ağırlıklar vektörü ve $k$ ise skaler bir sabittir.

Buna göre, elde edilen $Y$ indeksinin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\mathcal{N}(\mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\mu} + k, \mathbf{v}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{v}^{\prime})$
B
$\mathcal{N}_4(\mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\mu} + k, \mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{v})$
C
$\mathcal{N}(\mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\mu}, \mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{v})$
$\mathcal{N}(\mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\mu} + k, \mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{v})$ Cevap
E
$\mathcal{N}(\mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\mu} + k, \mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\mathbf{v})$

Cevap

Dağılım tek değişkenli normal dağılımdır ve parametreleri ortalama

\mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\mu} + k

, varyans

\mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{v}

şeklindedir.

Çok değişkenli normal dağılıma sahip

\mathbf{X} \sim \mathcal{N}_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})

vektörünün doğrusal bir kombinasyonu olan

Y = \mathbf{a}'\mathbf{X} + b

dönüşümü uygulandığında, elde edilen yeni değişken tek değişkenli normal dağılıma sahip olur. Bu yeni dağılımın beklenen değeri (ortalaması)

E(Y) = \mathbf{a}'E(\mathbf{X}) + b = \mathbf{a}'\boldsymbol{\mu} + b

ve varyansı

Var(Y) = \mathbf{a}'Var(\mathbf{X})\mathbf{a} = \mathbf{a}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{a}

şeklinde hesaplanır. Soru kökündeki

Y = \mathbf{v}^{\prime}\mathbf{X} + k

dönüşümü için bu kural uygulandığında, doğru dağılımın

\mathcal{N}(\mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\mu} + k, \mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{v})

olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

Y = \mathbf{v}^{\prime}\mathbf{X} + k

dönüşümünün boyutunu incelemek.

\mathbf{v}^{\prime}

(

1 \times 4

) ve

\mathbf{X}

(

4 \times 1

) çarpımı skaler (

1 \times 1

) bir değer üretir. Bu nedenle

Y

tek değişkenli bir dağılıma sahip olacaktır.

Sonuç değişkeninin dağılım türünü (tekli veya çoklu) belirlemek.

Y

'nin beklenen değerini (ortalamasını) hesaplamak.

E(Y) = E(\mathbf{v}^{\prime}\mathbf{X} + k) = \mathbf{v}^{\prime}E(\mathbf{X}) + k = \mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\mu} + k

Doğrusal kombinasyonun ortalama vektörüne etkisini bulmak.

Y

'nin varyansını hesaplamak.

Var(Y) = Var(\mathbf{v}^{\prime}\mathbf{X} + k) = \mathbf{v}^{\prime}Var(\mathbf{X})\mathbf{v} = \mathbf{v}^{\prime}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{v}

Doğrusal kombinasyonun varyans-kovaryans matrisine etkisini bulmak.

Anahtar Kavram

Doğrusal Dönüşümlerin Dağılımı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru