Bir üretim bandında kalite kontrol sürecinde ölçülen p sayıdaki özellik, \mathbf{X} rastge… — KPSS İstatistik

Bir üretim bandında kalite kontrol sürecinde ölçülen $p$ sayıdaki özellik, $\mathbf{X}$ rastgele vektörü ile temsil edilmektedir. Bu vektör, $\boldsymbol{\mu}$ ortalama vektörü ve $\boldsymbol{\Sigma}$ varyans-kovaryans matrisi ile çok değişkenli normal dağılıma sahiptir ( $\mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ ). Kalite kontrol mühendisi, ölçüm maliyetlerini düşürmek ve süreci basitleştirmek için bu özellikleri kullanarak $\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X}$ ve $\mathbf{Z} = \mathbf{B}\mathbf{X}$ şeklinde iki farklı doğrusal dönüşüm (indeks) tanımlamıştır. ( $\mathbf{A}$ ve $\mathbf{B}$ uygun boyutlu sabit matrislerdir.)

Buna göre, yeni oluşturulan $\mathbf{Y}$ ve $\mathbf{Z}$ indekslerinin istatistiksel olarak birbirinden bağımsız olması için aşağıdakilerden hangisinin sağlanması zorunludur?

A
$\mathbf{A}\mathbf{B}^{\prime} = \mathbf{0}$ matris eşitliğinin sağlanması
B
$\mathbf{A}^{\prime}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}$ matris eşitliğinin sağlanması
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B}^{\prime} = \mathbf{0}$ matris eşitliğinin sağlanmasıCevap
D
$\mathbf{Y}$ ve $\mathbf{Z}$ vektörlerinin yalnızca marjinal olarak normal dağılıma sahip olması
E
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\mathbf{B}^{\prime} = \mathbf{0}$ matris eşitliğinin sağlanması

Cevap

İki doğrusal dönüşümün istatistiksel olarak bağımsız olabilmesi için çapraz kovaryans matrislerinin sıfır matrisine eşit olması, yani

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B}^{\prime} = \mathbf{0}

eşitliğinin sağlanması gerekir.

Çok değişkenli normal dağılıma sahip

\mathbf{X}

vektörünün doğrusal dönüşümleri olan

\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X}

\mathbf{Z} = \mathbf{B}\mathbf{X}

vektörleri de ortak çok değişkenli normal dağılıma sahiptir. Ortak normal dağılıma sahip rassal vektörlerin bağımsız olması için aralarındaki kovaryansın (çapraz kovaryans matrisi) sıfır matrisine eşit olması gerek ve yeter şarttır. İki doğrusal dönüşümün kovaryansı

Cov(\mathbf{Y}, \mathbf{Z}) = Cov(\mathbf{A}\mathbf{X}, \mathbf{B}\mathbf{X}) = \mathbf{A}Cov(\mathbf{X}, \mathbf{X})\mathbf{B}^{\prime} = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B}^{\prime}

şeklinde hesaplanır. Bu nedenle bu iki dönüşüm vektörünün bağımsız olması için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B}^{\prime} = \mathbf{0}

eşitliğinin sağlanması zorunludur.

Adım Adım Çözüm

Doğrusal dönüşümlerin ortak dağılım özelliklerini belirleme

Çok değişkenli normal dağılımın doğrusal kombinasyonları olan

\mathbf{Y}

\mathbf{Z}

vektörleri de ortak çok değişkenli normal dağılıma sahiptir.

Çok değişkenli normal dağılımın temel özellikleri gereği doğrusal dönüşümler normallik varsayımını korur.

Ortak normal dağılımda bağımsızlık koşulunu uygulama

Bağımsızlık için

\mathbf{Y}

\mathbf{Z}

vektörleri arasındaki çapraz kovaryans matrisinin sıfır olması gerektiği saptanır.

Ortak çok değişkenli normal dağılıma sahip rastgele vektörler için korelasyonsuzluk (kovaryansın sıfır olması) bağımsızlık ile eşdeğerdir.

Çapraz kovaryans matrisini matematiksel olarak hesaplama

Cov(\mathbf{Y}, \mathbf{Z}) = Cov(\mathbf{A}\mathbf{X}, \mathbf{B}\mathbf{X}) = \mathbf{A}Cov(\mathbf{X}, \mathbf{X})\mathbf{B}^{\prime} = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B}^{\prime}

formülü elde edilir.

Kovaryans operatörünün matris formundaki doğrusal dönüşüm özellikleri (

Cov(\mathbf{A}\mathbf{X}, \mathbf{B}\mathbf{X}) = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B}^{\prime}

) uygulanır.

Sonucu bağımsızlık şartı ile birleştirme

İstenen bağımsızlık koşulu

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B}^{\prime} = \mathbf{0}

olarak bulunur.

Hesaplanan kovaryans matrisi, bağımsızlık şartını sağlamak üzere sıfır matrisine eşitlenmelidir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Doğrusal Dönüşümlerin Bağımsızlığı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru