Examkin

Soru

Zorluk: ZorDoğrusal Dönüşümlerin Dağılımı

X∼N3(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_3(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) rastgele vektörü, bir finansal portföydeki üç farklı varlığın getirilerini temsil etmektedir. Bu varlıkların varyans-kovaryans matrisi Σ\boldsymbol{\Sigma} aşağıda verilmiştir:

Σ=[41−1120−103] \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}

Bir risk analisti, bu üç varlığın getirilerini kullanarak Y1Y_1 ve Y2Y_2 olmak üzere iki yeni portföy oluşturmuştur:
Y1=X1+X2+X3Y_1 = X_1 + X_2 + X_3
Y2=X1−X2+cX3Y_2 = X_1 - X_2 + c X_3

Çok değişkenli normal dağılımın özelliklerine göre, oluşturulan bu iki yeni portföyün getirilerinin birbirinden bağımsız olması istenmektedir.

Buna göre, analistin belirlemesi gereken cc sabiti kaçtır?

  1. A
    −2-2
  2. B
    −23-\frac{2}{3}
  3. −12-\frac{1}{2}Cevap
  4. D
    00
  5. E
    12\frac{1}{2}

Cevap

İki portföyün bağımsız olması için katsayılar ve varyans-kovaryans matrisi kullanılarak hesaplanan kovaryansın sıfır olması gerekir; bu denklemden c = -1/2 elde edilir.
Çok değişkenli normal dağılımda elde edilen iki yeni doğrusal dönüşümün (Y1Y_1 ve Y2Y_2) birbirinden bağımsız olabilmesi için aralarındaki kovaryansın sıfır olması gerekir. Kovaryans hesaplaması Cov(Y1,Y2)=a1′Σa2Cov(Y_1, Y_2) = \mathbf{a}_1'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{a}_2 formülü ile yapılır. Verilen matris ve vektörler çarpıldığında 1+2c1 + 2c elde edilir. Bağımsızlık koşulu gereği 1+2c=01 + 2c = 0 denklemi çözüldüğünde c=−1/2c = -1/2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal kombinasyonların katsayı vektörlerini belirle.
a1′=[111]\mathbf{a}_1' = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} ve a2′=[1−1c]\mathbf{a}_2' = \begin{bmatrix} 1 & -1 & c \end{bmatrix} olarak ifade edilir.
Y1Y_1 ve Y2Y_2 portföylerinin varyans ve kovaryans hesaplamalarını matris formunda yapabilmek için.
2
Y1Y_1 ve Y2Y_2 arasındaki kovaryansı veren a1′Σa2\mathbf{a}_1'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{a}_2 ifadesini hesapla.
a1′Σ=[432]\mathbf{a}_1'\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \end{bmatrix} ve a1′Σa2=4(1)+3(−1)+2(c)=1+2c\mathbf{a}_1'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{a}_2 = 4(1) + 3(-1) + 2(c) = 1 + 2c elde edilir.
Çok değişkenli normal dağılımda iki doğrusal kombinasyonun kovaryansı bu formülle bulunur.
3
Bağımsızlık şartını uygula ve denklemi çöz.
Cov(Y1,Y2)=0  ⟹  1+2c=0  ⟹  c=−12Cov(Y_1, Y_2) = 0 \implies 1 + 2c = 0 \implies c = -\frac{1}{2} bulunur.
Çok değişkenli normal dağılıma sahip değişkenlerin doğrusal kombinasyonlarının bağımsız olması için kovaryanslarının sıfır olması şarttır.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Doğrusal Dönüşümler ve Bağımsızlık
Bu soruyu puanla

Konular

Doğrusal Dönüşümlerin Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru