Examkin

Soru

Zorluk: ZorDoğrusal Dönüşümlerin Dağılımı

Bir tarımsal araştırma enstitüsü, belirli bir bölgeden alınan toprak numunelerindeki Azot, Fosfor ve Potasyum miktarlarını sırasıyla X1X_1, X2X_2 ve X3X_3 rastgele değişkenleri ile modellemektedir. Bu üç mineralin ölçümlerini içeren X=[X1X2X3]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} rastgele vektörünün, ortalama vektörü μ\boldsymbol{\mu} ve varyans-kovaryans matrisi Σ\boldsymbol{\Sigma} olan üç değişkenli bir normal dağılıma uyduğu bilinmektedir:

μ=[101512],Σ=[412151216] \boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 10 \\ 15 \\ 12 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 6 \end{bmatrix}

Araştırmacılar, toprak verimliliğini değerlendirmek için doğrusal dönüşümler yardımıyla iki yeni besin indeksi tanımlamışlardır:
1. Azot-Fosfor Fark İndeksi: Y1=X1−X2Y_1 = X_1 - X_2
2. Toplam Mineral Yükü İndeksi: Y2=X1+X2+X3Y_2 = X_1 + X_2 + X_3

Bu iki indeksten oluşan Y=[Y1Y2]\mathbf{Y} = \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \end{bmatrix} rastgele vektörünün dağılımı ve özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Y\mathbf{Y} vektörü, ortalama vektörü [−537]\begin{bmatrix} -5 \\ 37 \end{bmatrix} ve varyans-kovaryans matrisi [70023]\begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 23 \end{bmatrix} olan iki değişkenli normal dağılıma uyar; kovaryans sıfır olduğu için Y1Y_1 ve Y2Y_2 birbirinden bağımsızdır.Cevap
  2. B
    Y\mathbf{Y} vektörü, ortalama vektörü [−537]\begin{bmatrix} -5 \\ 37 \end{bmatrix} ve varyans-kovaryans matrisi [9−1−115]\begin{bmatrix} 9 & -1 \\ -1 & 15 \end{bmatrix} olan iki değişkenli normal dağılıma uyar; Y1Y_1 ve Y2Y_2 arasında negatif yönlü bir ilişki vardır.
  3. C
    Y\mathbf{Y} vektörünün yoğunluk fonksiyonunun tanımlanabilmesi için öncelikle 3×33 \times 3 boyutlu Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisinin determinantının hesaplanması ve tersinin ( Σ−1\boldsymbol{\Sigma}^{-1} ) alınması zorunludur.
  4. D
    Y1Y_1 ve Y2Y_2 marjinal olarak tek değişkenli normal dağılıma sahip olsalar da, dönüşüm matrisi kare matris olmadığı için Y\mathbf{Y} vektörü ortak iki değişkenli normal dağılıma uymaz.
  5. E
    Y\mathbf{Y} vektörü, ortalama vektörü [537]\begin{bmatrix} 5 \\ 37 \end{bmatrix} ve varyans-kovaryans matrisi [70023]\begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 23 \end{bmatrix} olan iki değişkenli normal dağılıma uyar; ancak doğrusal dönüşüm yapıldığından bağımsızlık özelliği kaybolur.

Cevap

Y\mathbf{Y} vektörü, ortalama vektörü [−537]\begin{bmatrix} -5 \\ 37 \end{bmatrix} ve varyans-kovaryans matrisi [70023]\begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 23 \end{bmatrix} olan iki değişkenli normal dağılıma uyar; Y1Y_1 ve Y2Y_2 birbirinden bağımsızdır.
Çok değişkenli normal dağılıma sahip X∼Np(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) vektörünün doğrusal dönüşümü olan Y=AX\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} de normal dağılıma uyar: Y∼Nq(Aμ,AΣA′)\mathbf{Y} \sim N_q(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu}, \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}'). Problemde A=[1−10111]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} dönüşüm matrisi uygulandığında ortalama vektörü Aμ=[−537]\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} -5 \\ 37 \end{bmatrix} ve varyans-kovaryans matrisi AΣA′=[70023]\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}' = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 23 \end{bmatrix} elde edilir. Çok değişkenli normal dağılım özelliği gereği, kovaryansın sıfır olması bu iki rastgele değişkenin birbirinden bağımsız olduğunu kesin olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal dönüşüm matrisi A\mathbf{A}'nın oluşturulması.
A=[1−10111]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} matrisi yazılır.
Y1=X1−X2Y_1 = X_1 - X_2 ve Y2=X1+X2+X3Y_2 = X_1 + X_2 + X_3 denklemleri Y=AX\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} formatında ifade edilmelidir.
2
Y\mathbf{Y} vektörünün beklenen değerinin (ortalama vektörünün) hesaplanması.
μY=Aμ=[1−10111][101512]=[10−1510+15+12]=[−537]\boldsymbol{\mu}_Y = \mathbf{A}\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10 \\ 15 \\ 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 - 15 \\ 10 + 15 + 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ 37 \end{bmatrix} bulunur.
Doğrusal dönüşümlerde beklenen değer operatörü doğrusaldır; E[AX]=AE[X]E[\mathbf{A}\mathbf{X}] = \mathbf{A}E[\mathbf{X}] kuralı uygulanır.
3
Y\mathbf{Y} vektörünün varyans-kovaryans matrisinin hesaplanması.
ΣY=AΣA′=[1−10111][412151216][11−1101]=[3−41779][11−1101]=[70023]\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}' = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 7 & 7 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 23 \end{bmatrix} bulunur.
Var(AX)=AVar(X)A′Var(\mathbf{AX}) = \mathbf{A} Var(\mathbf{X}) \mathbf{A}' özelliği kullanılarak yeni dağılımın varyans ve kovaryansları hesaplanmalıdır.
4
Kovaryans değerinin yorumlanarak bağımsızlığa karar verilmesi.
Kovaryans değeri (00) olduğu için Y1Y_1 ve Y2Y_2 birbirinden bağımsızdır.
Ortak çok değişkenli normal dağılımda, değişkenler arasındaki kovaryansın sıfır olması kesin olarak bağımsızlığı gösterir.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda doğrusal dönüşümlerin dağılımı ( Y∼N(Aμ,AΣA′)\mathbf{Y} \sim N(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu}, \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}') ) ve sıfır kovaryansın bağımsızlık ifade etmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Doğrusal Dönüşümlerin Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru