Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDoğrusal Dönüşümlerin Dağılımı

Bir eğitim bilimci, öğrencilerin 55 farklı dersteki başarı puanlarını gözlemlemiş ve bu puanları 5×15 \times 1 boyutlu bir X\mathbf{X} rastgele vektörü ile modellemiştir. Öğrencilerin puanlarının, μ\boldsymbol{\mu} ortalama vektörü ve Σ\mathbf{\Sigma} varyans-kovaryans matrisi ile çok değişkenli normal dağılıma uygun olduğu belirlenmiştir.

Eğitim bilimci, öğrencilerin genel akademik başarılarını tek bir skorla özetlemek için 5×15 \times 1 boyutlu sabit bir ağırlık vektörü olan w\mathbf{w} ve sabit bir taban puanı olan cc skalerini kullanarak S=w′X+cS = \mathbf{w}'\mathbf{X} + c denklemi ile bir SS başarı skoru hesaplamaktadır.

Buna göre, elde edilen SS başarı skorunun dağılımı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak ifade edilmiştir?

  1. S∼N(w′μ+c,w′Σw)S \sim N(\mathbf{w}'\boldsymbol{\mu} + c, \mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w})Cevap
  2. B
    S∼N(w′μ+c,wΣw′)S \sim N(\mathbf{w}'\boldsymbol{\mu} + c, \mathbf{w}\mathbf{\Sigma}\mathbf{w}')
  3. C
    S∼N5(w′μ+c,w′Σw)S \sim N_5(\mathbf{w}'\boldsymbol{\mu} + c, \mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w})
  4. D
    S∼N(w′μ,w′Σw+c)S \sim N(\mathbf{w}'\boldsymbol{\mu}, \mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w} + c)
  5. E
    S∼N(μ+c,w′Σw)S \sim N(\boldsymbol{\mu} + c, \mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w})

Cevap

Başarı skoru SS, beklenen değeri w′μ+c\mathbf{w}'\boldsymbol{\mu} + c ve varyansı w′Σw\mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w} olan tek değişkenli normal dağılıma sahiptir: S∼N(w′μ+c,w′Σw)S \sim N(\mathbf{w}'\boldsymbol{\mu} + c, \mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w})
Çok değişkenli normal dağılıma sahip X\mathbf{X} vektörünün w′X+c\mathbf{w}'\mathbf{X} + c şeklindeki doğrusal bir dönüşümü tek değişkenli (skaler) normal dağılıma sahip olur. Bu yeni dağılımın beklenen değeri, dönüşüm fonksiyonunun ortalamalara uygulanmasıyla w′μ+c\mathbf{w}'\boldsymbol{\mu} + c olarak bulunur. Varyansı ise sabit cc'nin etkisi sıfır olduğundan sadece ağırlık vektörü ile kovaryans matrisinin w′Σw\mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w} formundaki çarpımıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
S=w′X+cS = \mathbf{w}'\mathbf{X} + c denkleminin beklenen değerini hesaplamak.
E(S)=E(w′X+c)=w′E(X)+c=w′μ+cE(S) = E(\mathbf{w}'\mathbf{X} + c) = \mathbf{w}'E(\mathbf{X}) + c = \mathbf{w}'\boldsymbol{\mu} + c
Beklenen değer (ortalama) doğrusal bir operatördür; sabitlerin beklenen değeri kendisine eşittir ve katsayılar beklenen değer dışına alınabilir.
2
SS denkleminin varyansını hesaplamak.
Var(S)=Var(w′X+c)=w′Var(X)w=w′ΣwVar(S) = Var(\mathbf{w}'\mathbf{X} + c) = \mathbf{w}'Var(\mathbf{X})\mathbf{w} = \mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w}
Varyans hesabında toplama eklenen sabitlerin (cc) varyansa etkisi yoktur (sıfırdır). Vektörel bir katsayı ile çarpımın varyansı matris formuyla w′Σw\mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w} şeklinde elde edilir.
3
Dağılımın türünü ve boyutunu (boyut derecesini) belirlemek.
Çok değişkenli normal dağılıma sahip vektörlerin doğrusal kombinasyonları da normal dağılır. İşlem sonucu skaler olduğu için dağılım tek değişkenlidir.
1×51 \times 5 boyutlu w′\mathbf{w}' ile 5×15 \times 1 boyutlu X\mathbf{X} matrislerinin çarpımı 1×11 \times 1 boyutlu skaler bir değer üretir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Doğrusal Dönüşümler
Bu soruyu puanla

Konular

Doğrusal Dönüşümlerin Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru