Examkin

Soru

Zorluk: KolayJensen Eşitsizliği

Bir kamu bankasında çalışan veri bilimci, kredi skorlarını analiz ederken XX rastgele değişkeninin karesini (g(x)=x2g(x) = x^2) temel alan bir endeks oluşturmuştur. Rastgele değişkenin varyansının sıfırdan büyük (Var(X)>0Var(X) > 0) olduğu bilindiğine göre, Jensen eşitsizliği uyarınca aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. E[X2]≥(E[X])2E[X^2] \geq (E[X])^2Cevap
  2. B
    E[X2]≤(E[X])2E[X^2] \leq (E[X])^2
  3. C
    E[X2]=(E[X])2E[X^2] = (E[X])^2
  4. D
    E[X2]=E[X]E[X^2] = E[X]
  5. E
    E[X2]=E[X]E[X^2] = \sqrt{E[X]}

Cevap

Kare fonksiyonu konveks olduğu için Jensen eşitsizliği uyarınca karesinin beklenen değeri, beklenen değerin karesinden büyük veya eşittir.
g(x)=x2g(x) = x^2 fonksiyonunun ikinci türevi g′′(x)=2>0g''(x) = 2 > 0 olduğu için bu fonksiyon konveks (dışbükey) bir yapıdadır. Jensen eşitsizliği ilkesine göre, konveks bir fonksiyonun beklenen değeri, beklenen değerin fonksiyonundan büyük veya ona eşittir (E[g(X)]≥g(E[X])E[g(X)] \geq g(E[X])). Bu teorik kuralın x2x^2 fonksiyonuna uygulanmasıyla elde edilen karesinin beklenen değerinin, beklenen değerin karesinden büyük veya eşit olduğunu belirten ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun konvekslik durumunu belirleyin.
g(x)=x2g(x) = x^2 için g′′(x)=2>0g''(x) = 2 > 0 olduğu için fonksiyon konvekstir.
Jensen eşitsizliğinin yönünü belirlemek için fonksiyonun türevleri incelenmelidir.
2
Jensen eşitsizliği kuralını uygulayın.
E[g(X)]≥g(E[X])E[g(X)] \geq g(E[X])
Konveks fonksiyonlar için beklenen değerin fonksiyonu, fonksiyonun beklenen değerinden küçük veya eşittir.
3
Kuralı soruya uyarlayın.
E[X2]≥(E[X])2E[X^2] \geq (E[X])^2
Tanımlanan g(x)=x2g(x) = x^2 fonksiyonu yerine konulduğunda eşitsizlik elde edilir.

Anahtar Kavram

Jensen Eşitsizliği ve Konvekslik
Bu soruyu puanla

Konular

Jensen Eşitsizliği

Bu konudan daha fazla soru