Examkin

Soru

Zorluk: ZorJensen Eşitsizliği

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) aktüeri, kuruma bağlı sigortalıların aylık ortalama sağlık harcamalarını stokastik olarak modellemek için XX rastgele değişkenini tanımlamıştır. Bu modelde harcamalar doğası gereği sadece pozitif değerler almakta (X>0X > 0) ve sigortalılar arasındaki belirgin farklılıklardan dolayı XX değişkeninin dejenere olmadığı (varyansının sıfırdan büyük olduğu) bilinmektedir.

Aktüer, farklı sağlık risk primlerini hesaplamak amacıyla XX değişkeni üzerine çeşitli fonksiyonel dönüşümler (g(X)g(X)) uygulayarak bu dönüşümlerin beklenen değerlerini analiz etmektedir.

Buna göre, aktüerin Jensen Eşitsizliği'ni kullanarak ulaştığı aşağıdaki sonuçlardan hangisi kesinlikle yanlıştır?

  1. A
    Birim maliyet dönüşümü g(X)=1Xg(X) = \frac{1}{X} ve karesel dönüşüm h(X)=X2h(X) = X^2 için beklenen değer eşitsizlikleri sırasıyla E[1X]>1E[X]E\left[\frac{1}{X}\right] > \frac{1}{E[X]} ve E[X2]>(E[X])2E[X^2] > (E[X])^2 olarak gerçekleşir.
  2. B
    Eksponansiyel maliyet büyümesi varsayımı altında uygulanan g(X)=eXg(X) = e^X dönüşümü için E[eX]>eE[X]E\left[e^X\right] > e^{E[X]} ilişkisi kesin olarak sağlanır.
  3. Logaritmik fayda dönüşümü olan g(X)=ln⁡(X)g(X) = \ln(X) kullanıldığında, fonksiyonun yapısından dolayı E[ln⁡(X)]≥ln⁡(E[X])E[\ln(X)] \geq \ln(E[X]) eşitsizliği elde edilir.Cevap
  4. D
    Harcamaların karekökünü alan g(X)=Xg(X) = \sqrt{X} risk düzleştirme metodu için, E[X]<E[X]E\left[\sqrt{X}\right] < \sqrt{E[X]} eşitsizliği geçerlidir.

Cevap

Logaritmik fayda dönüşümü olan g(X) = ln(X) için E[ln(X)] ≥ ln(E[X]) eşitsizliğinin elde edildiğini belirten ifade kesinlikle yanlıştır.
Logaritmik fonksiyon g(X) = ln(X) ele alındığında, ikinci türevi olan -1/X^2 daima negatif olduğundan bu fonksiyon kesin konkavdır. Jensen eşitsizliği kuralına göre, konkav fonksiyonlarda beklenen değerin fonksiyonu, fonksiyonun beklenen değerinden daha büyüktür ( E[g(X)] ≤ g(E[X]) ). Buna ek olarak, sorunun öncülünde X değişkeninin dejenere olmadığı (farklı değerler alabildiği, varyansının pozitif olduğu) belirtilmiştir. Bu durum eşitsizlikteki eşitlik ihtimalini ortadan kaldırır ve ilişkinin E[ln(X)] < ln(E[X]) şeklinde kesin olmasını zorunlu kılar. Yanlış olan ifadeyi içeren seçenekte hem eşitsizliğin yönü konveks bir fonksiyona aitmiş gibi (≥) ters verilmiş, hem de olmaması gereken eşitlik durumu dâhil edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Jensen Eşitsizliği kurallarını ve yönlerini tanımla.
Bir g(X) fonksiyonu konveks (ikinci türev > 0) ise E[g(X)] ≥ g(E[X]), konkav (ikinci türev < 0) ise E[g(X)] ≤ g(E[X]) geçerlidir.
Hangi fonksiyon türünün hangi eşitsizlik yönüne sahip olduğunu belirlemek için.
2
Değişkenin 'dejenere olmaması' (Varyans > 0) koşulunu eşitsizliğe uygula.
X sabit bir değer almadığı için, fonksiyonların kesin konveks veya kesin konkav olması durumunda eşitsizliklerdeki '=' ihtimali ortadan kalkar ve eşitsizlikler kesin (>, <) hale gelir.
Seçeneklerdeki ≥ veya ≤ gibi eşitlik barındıran ifadelerin doğruluğunu test etmek için.
3
Yanlış olduğundan şüphelenilen g(X) = ln(X) fonksiyonunun ikinci türevini alarak yapısını incele.
g'(X) = 1/X ve g''(X) = -1/X^2. X > 0 olduğundan g''(X) daima negatiftir (< 0). Dolayısıyla ln(X) kesin konkav bir fonksiyondur.
Logaritmik fonksiyonun Jensen eşitsizliğindeki doğru yönünü tespit etmek için.
4
Elde edilen verilerle hatalı seçeneği tespit et.
ln(X) kesin konkav ve X dejenere olmayan bir değişken olduğu için doğru eşitsizlik E[ln(X)] < ln(E[X]) olmalıdır. Ancak ilgili seçenekte E[ln(X)] ≥ ln(E[X]) verilerek hem yön ters çevrilmiş hem de imkansız olan eşitlik durumu eklenmiştir.
Sorunun 'kesinlikle yanlış' olan ifadeyi bulmamızı istemesinden dolayı.

Anahtar Kavram

Jensen Eşitsizliğinde Konvekslik/Konkavlık ve Dejenere Olmayan Dağılımlarda Kesin Eşitsizlik

Alternatif Yöntem

Ezberlemek yerine, sınav anında her bir fonksiyonun ikinci türevini hızlıca alıp işaretini kontrol etmek her zaman en güvenilir yöntemdir. Türev pozitifse E[g(X)] büyük tarafta (>), negatifse küçük tarafta (<) yer alır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Jensen Eşitsizliği

Bu konudan daha fazla soru