Examkin

Soru

Zorluk: OrtaJensen Eşitsizliği

Sadece pozitif değerler alan ve varyansı sıfırdan farklı (dejenere olmayan) bir XX rastgele değişkeni göz önüne alınsın.

Buna göre, Jensen eşitsizliği dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    E[X2]<(E[X])2E[X^2] < (E[X])^2
  2. B
    E[X]>E[X]E[\sqrt{X}] > \sqrt{E[X]}
  3. E[ln⁡(X)]<ln⁡(E[X])E[\ln(X)] < \ln(E[X])Cevap
  4. D
    E[1X]<1E[X]E\left[\frac{1}{X}\right] < \frac{1}{E[X]}
  5. E
    E[eX]=eE[X]E[e^X] = e^{E[X]}

Cevap

Doğru ifade E[ln⁡(X)]<ln⁡(E[X])E[\ln(X)] < \ln(E[X])'dir. ln⁡(x)\ln(x) kesin konkav bir fonksiyon olduğundan ve XX dejenere olmadığından, logaritma fonksiyonunun beklenen değeri, beklenen değerin logaritmasından kesin olarak küçüktür.
Jensen eşitsizliğine göre, g(x)g(x) fonksiyonu kesin konkav (strictly concave) ve XX dejenere olmayan bir rastgele değişken ise E[g(X)]<g(E[X])E[g(X)] < g(E[X]) eşitsizliği sağlanır. g(x)=ln⁡(x)g(x) = \ln(x) fonksiyonunun ikinci türevi g′′(x)=−1x2<0g''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 olduğundan bu fonksiyon kesin konkavdır. Bu koşullar altında E[ln⁡(X)]<ln⁡(E[X])E[\ln(X)] < \ln(E[X]) ifadesi matematiksel olarak kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonların konvekslik (dışbükey) veya konkavlık (içbükey) durumlarını ikinci türev testi ile belirleme.
x2x^2, 1/x1/x, exe^x fonksiyonlarının konveks; ln⁡(x)\ln(x) ve x\sqrt{x} fonksiyonlarının ise konkav olduğu tespit edilir.
Jensen eşitsizliğinin yönünü belirleyen temel unsur fonksiyonun yapısal şeklidir.
2
Jensen eşitsizliği kuralını, varyansı sıfırdan farklı (dejenere olmayan) değişken şartıyla uygulama.
Dejenere olmayan dağılımlarda kesin konveks fonksiyonlar için E[g(X)]>g(E[X])E[g(X)] > g(E[X]), kesin konkav fonksiyonlar için E[g(X)]<g(E[X])E[g(X)] < g(E[X]) eşitsizlikleri elde edilir.
Değişken sabit bir sayı olmadığı için eşitlik durumu ortadan kalkar ve kesin eşitsizlik geçerli olur.
3
Elde edilen teorik yönleri seçeneklerdeki eşitsizliklerle karşılaştırma.
Sadece g(x)=ln⁡(x)g(x) = \ln(x) fonksiyonunu içeren eşitsizliğin yönü (<<) konkavlık kuralıyla birebir uyuşmaktadır.
Matematiksel olarak geçerli tek seçeneği doğrulamak için tek tek eşleştirme yapılır.

Anahtar Kavram

Jensen Eşitsizliği ve Konveks/Konkav Fonksiyonlarda Beklenen Değer
Bu soruyu puanla

Konular

Jensen Eşitsizliği

Bu konudan daha fazla soru