Examkin

Soru

Zorluk: OrtaJensen Eşitsizliği

Bir finansal risk analisti, piyasa dalgalanmalarını modellemek amacıyla daima pozitif değerler alan (R>0R > 0) ve varyansı sıfırdan büyük olan (dejenere olmayan) bir RR rastgele değişkeni tanımlamıştır. Analist, risk metriklerini oluştururken bu değişkenin çeşitli dönüşümleri altındaki beklenen değerlerini incelemektedir.

Buna göre, Jensen eşitsizliği prensipleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi matematiksel olarak kesinlikle doğrudur?

  1. A
    E[1R]=1E[R]E\left[\frac{1}{R}\right] = \frac{1}{E[R]} ve E[R2]=(E[R])2E[R^2] = (E[R])^2
  2. B
    E[eR]<eE[R]E[e^R] < e^{E[R]}
  3. C
    E[ln⁡(R)]≥ln⁡(E[R])E[\ln(R)] \geq \ln(E[R])
  4. E[R]<E[R]E[\sqrt{R}] < \sqrt{E[R]}Cevap

Cevap

E[R]<E[R]E[\sqrt{R}] < \sqrt{E[R]} eşitsizliği kesinlikle doğrudur.
g(x)=xg(x) = \sqrt{x} fonksiyonu pozitif reel sayılarda kesin konkav (içbükey) bir fonksiyondur (ikinci türevi negatiftir). Jensen eşitsizliğine göre kesin konkav fonksiyonlar için beklenen değerin fonksiyonu, fonksiyonun beklenen değerinden büyüktür. Ancak değişkenin varyansı sıfırdan büyük (dejenere değil) olduğu için, eşitsizlik kesin büyüktür/küçüktür haline gelir. Formüle edildiğinde E[R]<E[R]E[\sqrt{R}] < \sqrt{E[R]} kesin eşitsizliği elde edilir ve bu ifade matematiksel olarak tamamen doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Jensen eşitsizliğinin temel kuralını hatırlayın.
g(x)g(x) konveks (dışbükey) ise E[g(X)]≥g(E[X])E[g(X)] \geq g(E[X]), konkav (içbükey) ise E[g(X)]≤g(E[X])E[g(X)] \leq g(E[X]) olur.
Beklenen değer operatörünün doğrusal olmayan fonksiyonlar altındaki davranışı bu eşitsizlikle belirlenir.
2
Değişkenin özelliklerinin eşitsizliğe etkisini değerlendirin.
Soruda RR'nin dejenere olmadığı (varyansının >0>0 olduğu) belirtilmiştir. Bu durumda fonksiyonlar kesin konveks/konkav ise, eşitsizliklerdeki eşitlik durumu kalkar ve kesin eşitsizlikler (<< veya >>) elde edilir.
Eşitlik durumu yalnızca doğrusal fonksiyonlarda veya rastgele değişkenin sabit bir sayı olması (varyans=0) durumunda sağlanır.
3
Seçeneklerdeki fonksiyonların konvekslik/konkavlık durumlarını analiz edin.
g(x)=1/xg(x) = 1/x, g(x)=x2g(x) = x^2 ve g(x)=exg(x) = e^x fonksiyonları pozitif xx değerleri için kesin konvekstir. g(x)=ln⁡(x)g(x) = \ln(x) ve g(x)=xg(x) = \sqrt{x} ise kesin konkavdır.
Fonksiyonların ikinci türevleri alınarak işaretleri kontrol edilebilir.
4
Bulguları seçeneklerle eşleştirerek doğru eşitsizliği bulun.
Konkav olan x\sqrt{x} fonksiyonu için Jensen eşitsizliği E[R]<E[R]E[\sqrt{R}] < \sqrt{E[R]} sonucunu verir. Diğer seçeneklerdeki yönler veya eşitlik iddiaları hatalıdır.
Matematiksel tanım gereği konkav fonksiyon eğrisinin altındaki kirişin (beklenen değer noktası) değeri eğrinin değerinden küçüktür.

Anahtar Kavram

Jensen Eşitsizliği ve Fonksiyonların Konveksliği/Konkavlığı
Tahmini Süre:1m 15s
Bu soruyu puanla

Konular

Jensen Eşitsizliği

Bu konudan daha fazla soru