Examkin

Soru

Zorluk: ZorJensen Eşitsizliği

İstatistiksel bir çalışmada kullanılan XX rastgele değişkeni, sadece pozitif değerler (X>0X > 0) almakta ve dejenere olmayan (sabit bir değere eşit olmayan, varyansı sıfırdan farklı) bir dağılıma sahiptir. XX'in birinci ve ikinci momentlerinin sonlu olduğu varsayılmaktadır.

Jensen Eşitsizliği (Jensen's Inequality) ve fonksiyonların yapısal özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    g(x)=ln⁡(x)g(x) = \ln(x) fonksiyonu konveks (dışbükey) bir yapıya sahip olduğundan, E[ln⁡(X)]>ln⁡(E[X])E[\ln(X)] > \ln(E[X]) eşitsizliği geçerlidir.
  2. g(x)=1xg(x) = \frac{1}{x} fonksiyonu pozitif aralıkta konveks (dışbükey) bir yapıya sahip olduğundan, E[1X]>1E[X]E\left[\frac{1}{X}\right] > \frac{1}{E[X]} eşitsizliği geçerlidir.Cevap
  3. C
    g(x)=exg(x) = e^x fonksiyonu konkav (içbükey) bir yapıya sahip olduğundan, E[eX]<eE[X]E[e^X] < e^{E[X]} eşitsizliği geçerlidir.
  4. D
    g(x)=xg(x) = \sqrt{x} fonksiyonu için, XX'in varyansından bağımsız olarak her zaman E[X]=E[X]E[\sqrt{X}] = \sqrt{E[X]} eşitliği sağlanır.

Cevap

Doğru yanıt, g(x)=1xg(x) = \frac{1}{x} fonksiyonunun (0,∞)(0, \infty) aralığında konveks olması nedeniyle E[1X]>1E[X]E\left[\frac{1}{X}\right] > \frac{1}{E[X]} eşitsizliğinin geçerli olduğunu belirten ifadedir.
Doğru yanıt, g(x)=1xg(x) = \frac{1}{x} fonksiyonunun özelliklerini doğru biçimde tanımlayan ifadedir. Bir fonksiyonun konveks (dışbükey) olabilmesi için ikinci türevinin pozitif olması gerekir. g(x)=1xg(x) = \frac{1}{x} için birinci türev −1x2-\frac{1}{x^2}, ikinci türev ise g′′(x)=2x3g''(x) = \frac{2}{x^3} şeklindedir ve x>0x > 0 aralığında daima pozitiftir. Jensen Eşitsizliği'ne göre, kesin konveks bir gg fonksiyonu ve dejenere olmayan (Var(X)>0Var(X) > 0) bir XX rastgele değişkeni için E[g(X)]>g(E[X])E[g(X)] > g(E[X]) kesin eşitsizliği geçerlidir. Bu nedenle E[1X]>1E[X]E\left[\frac{1}{X}\right] > \frac{1}{E[X]} ifadesi matematiksel olarak tamamen doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Jensen eşitsizliğinin temel kuralını hatırlamak.
Konveks bir g(x)g(x) fonksiyonu için E[g(X)]≥g(E[X])E[g(X)] \geq g(E[X]), konkav bir fonksiyon için ise E[g(X)]≤g(E[X])E[g(X)] \leq g(E[X]) olur.
Eşitsizliğin yönü doğrudan fonksiyonun ikinci türevinin işaretine bağlıdır.
2
Soru kökündeki 'dejenere olmayan' (varyansı sıfırdan farklı) şartını değerlendirmek.
Dejenere olmayan bir dağılım ve kesin konveks/konkav (g′′(x)≠0g''(x) \neq 0) bir fonksiyon için eşitlik durumu ortadan kalkar ve eşitsizlikler kesinleşir (>> veya <<).
Eşitlik sadece fonksiyon doğrusal olduğunda veya XX tek bir sabit değer aldığında sağlanır.
3
Seçeneklerdeki fonksiyonların ikinci türevlerini inceleyerek konveks/konkav durumlarını tespit etmek.
g(x)=ln⁡(x)g(x)=\ln(x) konkav (g′′=−1/x2<0g''=-1/x^2 < 0), g(x)=exg(x)=e^x konveks (g′′=ex>0g''=e^x > 0), g(x)=xg(x)=\sqrt{x} konkav (g′′=−1/(4x1.5)<0g''=-1/(4x^{1.5}) < 0), g(x)=1/xg(x)=1/x ise konvekstir (g′′=2/x3>0g''=2/x^3 > 0).
Her seçenekteki iddiayı doğrulamak için yapısal matematiksel özelliklerin netleştirilmesi gerekir.
4
Seçenekleri Jensen eşitsizliği kurallarıyla eşleştirmek.
Sadece g(x)=1/xg(x)=1/x fonksiyonu için yazılan 'konveks olduğundan E[1/X]>1/E[X]E[1/X] > 1/E[X] olur' iddiası hem yön hem de yapısal tanım açısından tamamen doğrudur.
Diğer seçenekler ya fonksiyon tipini (konveks/konkav) yanlış tanımlamış ya da dejenere olmayan durumda geçerli kesin eşitsizlikleri eşitlik gibi göstermiştir.

Anahtar Kavram

Jensen Eşitsizliği ve Konveks/Konkav Fonksiyon Özellikleri
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Jensen Eşitsizliği

Bu konudan daha fazla soru