Examkin

Soru

Zorluk: KolayJensen Eşitsizliği

Bir biyoloji çalışmasında bakteri artış hızı XX rastgele değişkeni ile modellenmiş ve toplam büyüme g(X)=eXg(X) = e^X fonksiyonu ile tanımlanmıştır. XX değişkeninin varyansının sıfırdan büyük olduğu (dejenere olmadığı) bilindiğine göre, Jensen eşitsizliği uyarınca aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. E[eX]>eE[X]E[e^X] > e^{E[X]}Cevap
  2. B
    E[eX]<eE[X]E[e^X] < e^{E[X]}
  3. C
    E[eX]=eE[X]E[e^X] = e^{E[X]}
  4. D
    E[eX]≤eE[X]E[e^X] \leq e^{E[X]}
  5. E
    E[eX]=E[X]E[e^X] = E[X]

Cevap

E[eX]>eE[X]E[e^X] > e^{E[X]} eşitsizliğinin sağlandığı durum
Üstel fonksiyon olan exe^x her noktada kesin dışbükey (strictly convex) bir fonksiyondur. Jensen eşitsizliğine göre, dışbükey fonksiyonlar için fonksiyonun beklenen değeri (E[g(X)]E[g(X)]); beklenen değerin fonksiyonundan (g(E[X])g(E[X])) her zaman büyük veya eşittir. Soruda XX değişkeninin varyansının sıfırdan büyük olduğu (dejenere olmadığı) belirtildiği için, kesin dışbükeylikten dolayı eşitsizlik kesin büyüktür (>>) halini alır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun eğriliğinin (dışbükeylik/içbükeylik) belirlenmesi
g(x)=exg(x) = e^x için g′′(x)=ex>0g''(x) = e^x > 0 olduğu tespit edilir.
Jensen eşitsizliğinin yönü fonksiyonun konveks (dışbükey) mi yoksa konkav (içbükey) mı olduğuna bağlıdır.
2
Jensen eşitsizliğinin temel formülünün uygulanması
g(x)g(x) dışbükey ise E[g(X)]≥g(E[X])E[g(X)] \geq g(E[X]) olduğu hatırlanır.
Dışbükey fonksiyonlarda kiriş, her zaman eğrinin üzerinde yer alır.
3
Değişkenin varyans durumuna göre kesin eşitsizlik şartının kontrol edilmesi
Var(X)>0Var(X) > 0 olduğu için eşitsizlik E[eX]>eE[X]E[e^X] > e^{E[X]} halini alır.
Kesin dışbükey fonksiyonlarda, değişken sabit değilse (dejenere değilse) eşitlik durumu bozulur ve kesin büyüktür işareti kullanılır.

Anahtar Kavram

Jensen Eşitsizliği ve Konvekslik
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Jensen Eşitsizliği

Bu konudan daha fazla soru