Bir tarım araştırmasında, belirli bir bölgedeki buğday verimi (Y), topraktaki azot miktarı… — KPSS İstatistik

Bir tarım araştırmasında, belirli bir bölgedeki buğday verimi ( $Y$ ), topraktaki azot miktarı ( $X_1$ ) ve fosfor miktarı ( $X_2$ ) değişkenleri incelenmektedir. Bu üç değişkenin $\mathbf{Z} = (Y, X_1, X_2)^T$ rastgele vektörü olarak çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Değişkenlere ait ortalama vektörü ve kovaryans matrisi sırasıyla aşağıdaki gibi verilmiştir:

\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix} , \quad \mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}

Buna göre, topraktaki azot ve fosfor miktarları bilindiğinde, buğday veriminin koşullu beklenen değeri $E(Y | X_1, X_2)$ ve koşullu varyansı $Var(Y | X_1, X_2)$ aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

$E(Y | X_1, X_2) = 9 + X_1 - X_2 \quad ; \quad Var(Y | X_1, X_2) = 1$ Cevap
B
$E(Y | X_1, X_2) = 9 + X_1 - X_2 \quad ; \quad Var(Y | X_1, X_2) = 7$
C
$E(Y | X_1, X_2) = 4 + 2X_1 - X_2 \quad ; \quad Var(Y | X_1, X_2) = 3$
D
$E(Y | X_1, X_2) = 10 \quad ; \quad Var(Y | X_1, X_2) = 4$
E
$E(Y | X_1, X_2) = 10 + 2X_1 - X_2 \quad ; \quad Var(Y | X_1, X_2) = 4$

Cevap

Doğru yanıt, koşullu beklenen değerin

E(Y | X_1, X_2) = 9 + X_1 - X_2

ve koşullu varyansın

Var(Y | X_1, X_2) = 1

olarak bulunduğu seçenektir.

Çok değişkenli normal dağılımda,

\mathbf{Z}

vektörü

\mathbf{Z}_1

\mathbf{Z}_2

olarak bölütlendiğinde,

\mathbf{Z}_1

'in

\mathbf{Z}_2

'ye koşullu dağılımı da normaldir. Formül gereği

E(\mathbf{Z}_1 | \mathbf{Z}_2) = \boldsymbol{\mu}_1 + \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}(\mathbf{Z}_2 - \boldsymbol{\mu}_2)

Var(\mathbf{Z}_1 | \mathbf{Z}_2) = \Sigma_{11} - \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}

eşitlikleri kullanılır. Değerler yerine konulduğunda

\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}

matrisi elde edilir. Bu matris ile ortalamadan sapmalar çarpılıp

\mu_Y=10

değerine eklendiğinde

9 + X_1 - X_2

sonucuna ulaşılır. Varyans hesabında ise

\Sigma_{11}=4

değerinden

\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}=3

miktarı çıkarılarak varyans 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Ortalama vektörü ve kovaryans matrisini hedef değişken (Y) ve koşul değişkenleri (X1, X2) olarak bölütlemek.

\Sigma_{11} = 4

\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix}

\Sigma_{21} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}

\Sigma_{22} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

Koşullu dağılım formüllerini uygulayabilmek için parçalanmış matrislere ihtiyaç vardır.

Koşul değişkenlerinin kovaryans matrisinin (

\Sigma_{22}

) tersini hesaplamak.

\Sigma_{22}^{-1} = \frac{1}{3 \times 2 - 1 \times 1} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

Koşullu ortalama ve varyans formüllerinde

\Sigma_{22}^{-1}

matrisi çarpan olarak kullanılır.

Koşullu beklenen değeri hesaplamak:

E(Y | X) = \mu_Y + \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} (X - \mu_X)

\Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix} \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 5 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}

E(Y | X_1, X_2) = 10 + 1(X_1 - 5) - 1(X_2 - 4) = 9 + X_1 - X_2

Koşullu ortalama, değişkenlerin kendi ortalamalarından sapmalarının uygun kovaryans ağırlıklarıyla hedefe yansıtılmasıdır.

Koşullu varyansı hesaplamak:

Var(Y | X) = \Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21}

Var(Y | X_1, X_2) = 4 - \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = 4 - (2 + 1) = 4 - 3 = 1

Koşullu varyans, marjinal varyanstan koşul değişkenlerinin sağladığı bilgi miktarının çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Koşullu Dağılımlar

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru