Bir kamu kurumunda uzman yardımcılarının performans değerlendirmesi, standartlaştırılmış ü… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda uzman yardımcılarının performans değerlendirmesi, standartlaştırılmış üç farklı kritere göre yapılmaktadır: $X_1$ (İletişim Becerisi), $X_2$ (Analitik Düşünme) ve $X_3$ (Liderlik). Bu kriterlere ait puanlardan oluşan $\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix}$ rastgele vektörünün, $\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ ortalama vektörü ve

\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}

kovaryans matrisi ile çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Kurum, personelin genel yetenek skorunu $U = X_1 + X_2$ , özel proje skorunu ise $V = X_1 - X_3$ olarak tanımlamıştır.

Buna göre, özel proje skoru $V = 2$ olarak ölçülen bir personelin genel yetenek skoru $U$ 'nun koşullu beklenen değeri ( $E(U | V=2)$ ) ve koşullu varyansı ( $Var(U | V=2)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$3$ ve $\frac{9}{2}$ Cevap
B
$1$ ve $\frac{17}{2}$
C
$1$ ve $\frac{11}{2}$
D
$\frac{2}{3}$ ve $1$
E
$3$ ve $9$

Cevap

Personelin genel yetenek skorunun beklenen değeri

3

, koşullu varyansı ise

\frac{9}{2}

'dir.

Çözüm için öncelikle

U

V

'nin oluşturduğu iki değişkenli yeni vektörün varyans-kovaryans yapısı bulunmalıdır.

Var(U) = Var(X_1+X_2) = 3+4+2(1)=9

Var(V) = Var(X_1-X_3) = 3+3-2(2)=2

'dir. Bu iki doğrusal kombinasyonun kovaryansı ise

Cov(U,V) = Cov(X_1,X_1) - Cov(X_1,X_3) + Cov(X_2,X_1) - Cov(X_2,X_3) = 3 - 2 + 1 - (-1) = 3

'tür. Bivariate (İki değişkenli) normal dağılımın özelliklerinden koşullu beklenen değer:

E(U|V=2) = 0 + (3/2)\times(2-0) = 3

, koşullu varyans ise

Var(U|V=2) = 9 - (3^2/2) = 9 - 4.5 = 4.5 = 9/2

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

U

V

'nin marjinal varyanslarını hesaplamak.

Var(U) = 9

Var(V) = 2

bulunur.

Var(X_1+X_2) = \sigma_{11} + \sigma_{22} + 2\sigma_{12} = 3 + 4 + 2(1) = 9

. Benzer şekilde

Var(X_1-X_3) = \sigma_{11} + \sigma_{33} - 2\sigma_{13} = 3 + 3 - 2(2) = 2

U

V

arasındaki kovaryansı bulmak.

Cov(U,V) = 3

olarak hesaplanır.

Cov(X_1+X_2, X_1-X_3) = \sigma_{11} - \sigma_{13} + \sigma_{21} - \sigma_{23} = 3 - 2 + 1 - (-1) = 3 - 2 + 1 + 1 = 3

Koşullu beklenen değer formülünü uygulamak.

E(U | V=2) = 3

elde edilir.

E(U|V=v) = \mu_U + \frac{Cov(U,V)}{Var(V)}(v - \mu_V) = 0 + \frac{3}{2}(2 - 0) = 3

Koşullu varyans formülünü uygulamak.

Var(U | V=2) = \frac{9}{2}

elde edilir.

Var(U|V=v) = Var(U) - \frac{[Cov(U,V)]^2}{Var(V)} = 9 - \frac{3^2}{2} = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda doğrusal dönüşümlerin ortak dağılımı ve iki değişkenli normal dağılımın koşullu parametrelerinin hesaplanması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru