Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKoşullu Dağılımlar

Bir finansal analizde, üç farklı yatırım aracının aylık getirileri Y1,Y2Y_1, Y_2 ve Y3Y_3 değişkenleri ile modellenmiştir. Bu değişkenlerden oluşan Y\mathbf{Y} rastgele vektörünün çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu ve varyans-kovaryans matrisinin Σ\mathbf{\Sigma} olarak verildiği bilinmektedir:

Σ=[410121013] \mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}

Analist, Y3Y_3 değişkeninin alacağı değer bilindiğinde, ilk iki yatırım aracının getirilerinden oluşan vektörün koşullu varyans-kovaryans matrisini bulmak istemektedir.

Buna göre, elde edilecek koşullu varyans-kovaryans matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [41153] \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & \frac{5}{3} \end{bmatrix} Cevap
  2. B
    [41173] \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & \frac{7}{3} \end{bmatrix}
  3. C
    [4112] \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}
  4. D
    [4111] \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}
  5. E
    [113232353] \begin{bmatrix} \frac{11}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{5}{3} \end{bmatrix}

Cevap

Koşullu varyans-kovaryans matrisi, hesaplamalar sonucunda sağ alt köşesindeki elemanı 5/3 olan 2x2 boyutundaki matristir.
Doğru seçenek, çok değişkenli normal dağılımda koşullu varyans-kovaryans matrisinin Σ11⋅2=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21\mathbf{\Sigma}_{11 \cdot 2} = \mathbf{\Sigma}_{11} - \mathbf{\Sigma}_{12}\mathbf{\Sigma}_{22}^{-1}\mathbf{\Sigma}_{21} formülü ile elde edilmiş nihai halini göstermektedir. Gerekli matris işlemleri doğru uygulandığında sağ alt elemanın 2 - 1/3 = 5/3 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Matrisi alt parçalara (partition) ayırma işlemi yapılır.
Σ11=[4112]\mathbf{\Sigma}_{11} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, Σ12=[01]\mathbf{\Sigma}_{12} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, Σ21=[01]\mathbf{\Sigma}_{21} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} ve Σ22=[3]\mathbf{\Sigma}_{22} = [3] olarak belirlenir.
Çok değişkenli normal dağılımda koşullu matris hesabı için varyans-kovaryans matrisinin koşul değişkenlerine göre bölünmesi gereklidir.
2
Koşul değişkeninin varyansını temsil eden matrisin tersi alınır.
Σ22−1=[1/3]\mathbf{\Sigma}_{22}^{-1} = [1/3] bulunur.
Düzeltme terimi hesaplanırken koşula alınan vektörün/değişkenin etkisini standardize etmek için varyansının tersine ihtiyaç vardır.
3
Düzeltme terimi olan matris çarpımı (Σ12Σ22−1Σ21\mathbf{\Sigma}_{12}\mathbf{\Sigma}_{22}^{-1}\mathbf{\Sigma}_{21}) hesaplanır.
[01][1/3][01]=[01/3][01]=[0001/3]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} [1/3] \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}
Koşullanan değişkenlerin marjinal varyans matrisinden, koşul değişkeninin taşıdığı bilginin etkisini çıkarmak için bu çarpım elde edilir.
4
Marjinal varyans-kovaryans matrisinden, hesaplanan düzeltme terimi çıkarılarak sonuca ulaşılır.
Σ11⋅2=[4112]−[0001/3]=[4115/3]\mathbf{\Sigma}_{11 \cdot 2} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 5/3 \end{bmatrix}
Koşullu varyans-kovaryans formülü Σ11⋅2=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21\mathbf{\Sigma}_{11 \cdot 2} = \mathbf{\Sigma}_{11} - \mathbf{\Sigma}_{12}\mathbf{\Sigma}_{22}^{-1}\mathbf{\Sigma}_{21} şeklinde uygulandığında nihai matris bulunur.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda parçalanmış matrisler kullanılarak koşullu varyans-kovaryans matrisinin hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Dağılımlar

Bu konudan daha fazla soru